AXES
136— Dans les courbes du second degré, les diamètres perpendiculaires aux cordes qu’ils divisent en deux parties égales sont des axes de symétrie.
La parabole ayant tous ses diamètres parallèles, si l’on imagine une série de cordes MM' (fig. 76) perpendiculaires à la direction commune des diamètres, le dia- Fig. 7c. mètre AA', qui divise ces cordes en deux
parties égales, sera un axe de la courbe et ce sera le seul. Le
coefficient angulaire des diamètres est donc, si les axes
aL
lies coordonnées sont rectangulaires, l’axe de la courbe est le
aC
diamètre des cordes ayant pour coefficient angulaire -g- ; son équation (n® i3i) est
B(aAÆ-|-By-i-D)-l-2C (Bx-t- aCy-4- E) = 0.
Lorsque la courbe est une ellipse ou une hyperbole, à tout axe AA' (fig. 77) en correspond un second BB', formant avec le premier un système de diamètres conjugués; la question est ainsi ramenée à la reclierclie des diamètres conjugués per- I pend iculaires entre eux . Si les coordon-
F‘g- ’77- nées sont rectangulaires, on obtient les
coefficients angulaires des axes en joignant à l’équation (i4) la
relation înm'= — i. On en déduit m-+-m' = a
ainsi.
met m' sont les racines de l’équation du second degré
(i5) Bu’-t-2(A — C)u — B — O.
L’ellipse et l’hyperbole ont deux axes. Si l’on avait B = o, et A = C, l’équation serait une identité, et la courbe aurait une infinité de systèmes de diamètres conjugués rectangulaires; dans ce cas, le lieu est un cercle.
137 — Nous avons vu (n® i3o) que, lorsque la quantité
B* — est négative, Téqualion
(8) Ax' + Bxy + Ci/=o
représente deux droites passant par l’origine; l’équation (i5) donne les directions des axes, c’est-à-dire les bissectrices des angles formés par ces deux droites; on obtiendra les équations
de ces bissectrices elles-mêmes, en remplaçant m par ^ dans l’équation (i5), ce qui donne
(i6) Bx’ — 2(A — C)xy—By* = o.
Comme les directions des axes dépendent uniquement des coefficients des termes du second degré, si la courbe est une hyperbole, les axes, parallèles aux bissectrices des angles formés par les droites (8), sont les bissectrices des angles des asymptotes.
On appelle sommet d’une courbe du second degré les points où elle est rencontrée par un axe. La parabole, ayant un seul axe qui ne rencontre la courbe qu’en un point, n’a qu’un sommet; l’ellipse a quatre sommets et l’hyperbole deux.
