RÉDUCTION DE L’ÉQUATION

équation

( Acos* a -i- C sin’ a -f- B sina cosa) (Asin’a+Ccos*a — Bsina cosa) y' -

-H [ 2 (C — A) sin a cos a 4- B (cos* a — sin*a)] o:^ j/'-l- F, = o.

On peut disposer de l’angle a de manière à annuler le coefficient du terme en x' y' ; pour cela, on posera

(4) 2 (G — A) sin a cosa -H B (cos* a — sin* a) = o, ou (5) B tang’a-t- 2 (A — C) tanga — B = o.

Cetle équation du second degré est la même que l’équation (i5)

(lu n° i36, par laquelle on détermine les directions des axes de la courbe. Mais on peut résoudre l’équation (4) plus simplement en la mettant sous la forme

d’où

(C— A) sin2a-|-BcoS2a = o,

tang2a

Si l’on exclut le cas du cercle où l’on a à la fois B = o, et ,\ = C, l’équation (6) admet une solution positive to moindre que TT, et les diverses valeurs de l’angle 2a qui satisfont à cette équation sont comprises dans ta formule

2a = W-f-/fT7,

où k désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; on en déduit

Les diverses valeurs do a ne donnent que quatre directions différentes pour l’axe CX'; ces quatre directions sont opposées deux à deux et forment deux droites rectangulaires. Nous

prendrons pour a la valeur qui est toujours positive et

inférieure à Le terme en a/ y' disparaît dans l’équation (3);

il reste à calculer les coefficients des termes en a/* et en y'*. Si l’on pose

M = Acos’a-t-C sin’ a -t- B sin a cos a,

N = A sin’a-|-Ccos*a — Bsina cosa; on a M -f— N ^ — A -t~ C ,

I— N = ( A — C) (cos’a — sin* a) -h 2 C si U a cos a = (A — C) COS 2 a + B si II 2 a. BU. 9

L’équation (6) donne

Sin2a = — , cos2a = :

±Vb*-i-(a— C)* ±Vb‘-i-(a— 0*

il en résulte M — N = ± Vb^-I-(A — C)*.

On calculera donc les deux coefficients M et N à l’aide des formules

1 M — N=±VB’-+-(A— C)*.

Nous avons choisi la valeur de 2a positive et inférieure à ■;; ; sin2a ayant une valeur positive, il faudra mettre devant le radical le signe de B. De cette manière l’équation de la courbe est ramenée à la forme simple

(8) Ma/*-+-Ny'‘-f-F, = o.

Si l’on retranche les deux équations (7) membre à membre après les avoir élevées au carré, on obtient la relation