RÉDUCTION DE L'ÉQUATION

l’équation proposée devient

j^(^cosa-^sinajy.4-l

lsma4-^cosajx,

-f- (D cosa 4- E sin a) + (E cosa — D sina) y, 4- F = o.

On peut disposer de l’angle a de manière à annuler le coefficient de x^ ou de y^ dans le polynôme qui estélevé au carré; posons, par exemple,

sina4 — P cosa = o,

2 lu

On a

d’où

Fig. 70.

(Il) Ny*

Px,-

(lo) tanga

l’équation (9) se simplifiera et prendra la forme

ûy.4-F = o.

X=cfcosa — -^sina) =C (cosa 4- tanga sina | = —

V 2C y V y cos*a

el, par suite, N =

A4-C. Quant aux coefficients

P et Q, on les obtiendra en remplaçant sina et cosa par leurs valeurs, ce qui donne

aCD — BE 2CE4-BD

Si le coefficient P était nul, l’équation (ii), ne renfermant plus x^, ne pourrait représenter que deux droites parallèles à l’axe OXj. Lorsque ce coefficient est différent de zéro, on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes; en posant x,=a4-x', //, = 64-jy, l’équation (ii) devient

Ny'* 4- Px' 4- (2N6 -+- Q) y' 4- (N6’ 4- P a 4- Q6 -h F) = o.

On disposera des coordonnées a et 6 de la nouvelle origine A de manière à annuler le coefficient de yf et le terme constant,

2N64~Q=^o, N6*4~ Pfl 4“ Qô F =0,

ce qui donne pour a et 6 des valeurs finies et déterminées, cl ré(]uation sera ramenée à la forme simple

(12) Nÿ'*-f-Pa:' = o.

On a fait d’abord tourner les axes des coordonnées autour de l’origine de manière à rendre l’axe OX, parallèle à Taxe de la parabole ; on a transporté ensuite les axes parallèlement à eux-mêmes au sommet A de la parabole. De cette manière la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet.

— Remarque. Pour effectuer la réduction de l’équation du second degré, nous avons supposé les axes rectangulaires ; si les axes étaient obliques et faisaient entre eux un angle h, on pourrait rapporter la courbe à des axes rectangulaires, en conservant l’axe des x et prenant pour axe des y une droite perpendiculaire à l’axe des x. Les formules de transformation sont

Æ^sinS — y'cosO y'

^ sinÔ ’ ^ siu6’

les termes du second degré dans la nouvelle équation ont pour coefficients

,, . Bsin6 — 2Asin6cos9 C-t-Acos’9 — Bcos9

sin*9 sin’9

Il est bon de remarquer que ces coefficients satisfont aux relations suivantes

A-t-C-- Bcos9 sin^9

B» — 4AC sin’9

Les quantités A'-f- C' et B'® — 4A'C', qui sont égales à M-h i\ et à — 4MN, conservant des valeurs invariables pour tous les systèmes d’axes rectangulaires, il en résulte que les quantités

A-f-C — Bcos9 B* — 4 AC sin’9 ’ sin*9

restent constantes par rapport à tous les systèmes d’axes obliques.

EXEMPLES