CHAPITRE IV
De l’ellipae.
144 — Proposons-nous de construire la courbe représentée par l’équation
Mx* 4- N y* -4- F, = O,
dans laquelle les deux coefflcients M et N ont le même signe, par exemple le signe +.
Si la constante F, a une valeur positive, l’équation, ne pouvant être satisfaite par des valeurs réelles de x et y, ne représente aucun lieu géométrique.
Si F, est égal à zéro, l’équation, n’étant satisfaite que par x = o, y = o, représente un seul point, l’origine O.
Examinons maintenant le cas où F, a une valeur négative, et posons F, = — H, l’équation devient
Mx’-i-Nÿ‘ = H.
Résolue par rapport à y, elle donne
i36 livre III, CHAPITRE IV.
Pour que l’ordonnée soit réelle, il est nécessaire et il suffil
que la valeur numérique de l’abscisse soit plus petite que
portons sur l'axe X' X ,
à partir de l’origine , deux longueurs OA, OA' égales à
et par les points A, A' me-
Fig. 81.
lions des parallèles à l’axe Y' Y, la courbe est située tout entière entre ces deux parallèles (flg. 8i). A chaque abscisse OP, comprise entre ces limites, correspondent deux ordonnées PM, PAl' égales et de signes contraires; quand x = o, l’ordonnée ac-
quiert sa plus grande valeur numérique portons sur A'' Y, à partir de l’origine, deux longueurs OB, OB' égales à y/p’
par les points B, B' menons deux parallèles à l’axe X'X; la courbe est située tout entière entre ces deux nouvelles parallèles, et, par conséquent, elle est renfermée dans le rectangle CDEF formé par les deux couples de parallèles.
Si, pour abréger, on représente par a et 6 les deux quantités
\/^’ Léquation prend la forme
d’où
j/=±- Va* — ^ a *
Quand cc croît de o à a, la valeur numérique de y décroît de i» à O, ce qui donne un arc de courbe BMA, et, à cause du double signe, l’arc égal B'M^A. Quand x varie de o à — a, la valeur numérique de y décroît encore de 6 à o, ce qui donne deux autres arcs BMjA', B'NA' égaux aux premiers. Ces quatre arcs égaux forment l’elli()se.
La droite A'A est un axe de l’ellipse; car à chaque abscisse OP correspondent deux ordonnées PM, PM' égales et de signes
DE L’ELLIPSE
contraires. La droite B'B est aussi un axe de l’ellipse; car, si DD résolvait l’équation par rapport à x, on verrait de même qu’à chaque ordonnée OQ correspondent deux abscisses QM, Q.M, égales et de signes contraires. Les points A, A', B, B', où les axes rencontrent l’ellipse, sont les sommets de l’ellipse. Les longueurs A'A, B'B des deux axes sont respectivement égales à aa et à 26.
L’ellipse devient un cercle quand les axes sont égaux.
11 est aisé de voir que l’origine 0 est centre de l’ellipse; en effet, soient x, y les coordonnées d’un point quelconque M de l’ellipse, il est évident que l’équation (i) est aussi satisfaite par les valeurs — x, — y; il existe, par conséquent, un second point N de l’ellipse qui a ses coordonnées — OP', — P'\ respectivement égales aux coordonnées OP, P.\l du point M, mais de sens contraires; les triangles OPM, OP'N sont égaux; donc OM = ON, et la ligne MON est droite à cause des angles égaux PO.M, P'ON. Ainsi, les points .M et N de l’ellipse sont deux à deux symétriques par rapport au point 0; donc le point 0 est centre de l’ellipse.
145 — Pour étudier comment varie la distance du centre aux différents points de l’ellipse, ou le rayon de l’ellipse, cherchons l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires, en prenant le centre 0 pour pôle et l’axe OA de la courbe pour axe polaire. Si dans l’équation (i) on remplace x eï y par pcosb), et P sine», on a
p’cos’ù)
p*sin*w
Supposons a> b, et mettons l’équation sous la forme
Si l’on fait varier w de o à
la quantité croît, et par con-
séquent p décroît constamment de a à ô. Le maximum de p esta, le minimum b.
14®— Désignons par x et y les coordonnées d’un point
138 LIVRE ni, CHAPITRE IV.
quelconque du plan et considérons le polynôme
Pour un point M situé sur Pellipse (flg. 82), le polynôme est
égal à zéro. Imaginons qu’un point mobile P parte du point M et s’éloigne sur le prolongement du rayon OM; les deux coordonnées a: et y augmentant en valeur absolue, le polynôme va en croissant indéfiniment; il prend donc des valeurs positives de plus en plus grandes. Au contraire, si le point mobile se rapproche du centre, le polynôme diminue et prend des valeurs négatives.
iC* î/*
Ainsi le polynôme ^ ~ * r®ste négatif pour tous les
points situés à l’intérieur de l’ellipse, sur l’ellipse il est nul, et il devient positif pour tous les points situés en dehors de l’ellipse.
141— les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’un des axes de l’ellipse sont proportionnels aux produits des segments correspondants formés sur cet axe.
En effet, si l’on désigne par x et y les coordonnées d’un point quelconque M de l’ellipse (flg. 81), on a, en vertu de l’équation (2),
Mais les deux segments AP, A' P de l’axe AA! sont égaux respectivement à O — X et à o-f-x; on a donc
MP
APxA'P'
Ainsi, le carré de l’ordonnée est au produit des segments formés sur l’axe dans un rapport constant.
448 — Les ordonnées perpendiculaires au grand axe de l’ellipse sont aux ordonnées correspondantes du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du petit axe au grand axe.
DE L’ELLIPSE
Soit AA' le grand axe de l’ellipse (fig. 83); sur ce grand axe comme diamètre décrivons un cercle; à l’ordonnée MP de l’ellipse correspond l’ordonnée MjP du cercle. L’équation (2) s’écrit
Vo* — x' û’
mais représente l’or-
donnée M,P du cercle; on a donc
MP i>
Le petit axe jouit de la même propriété; l’ordonnée MQ, perpendiculaire au petit axe, est à l’ordonnée correspondante M,Q du cercle décrit sur cet axe comme diamètre dans le rapport constant du grand axe au petit axe.
VeUipse est la projection orthogonale d’un cercle. Imaginons que l’on fasse tourner le cercle AB, A' autour de l’axe
AA' d’un angle <p, tel que l’on ait cos<p = -* l’ordonnée PM,
du cercle tournera autour du point P, tout en restant perpendiculaire à l’axe AA'; dans cette position, elle se projettera sur la droite PM; pour avoir la longueur de la projection, il
suffit de multiplier la longueur P.M, par COS9 ou par -» ce qui
donne l’ordonnée PM de l’ellipse. Ainsi le point M, du cercle a pour projection le point M de l’ellipse; chacun des points du cercle se projetant ainsi au point correspondant de l’ellipse, il s’ensuit que l’ellipse est la projection du cercle.
On peut aussi considérer le cercle comme la projection orthogonale d’une ellipse. Imaginons que l’on fasse tourner
l’ellipse autour de l’axe BB' d’un angle ç ayant pour cosinus
l’ordonnée QM de l’ellipse aura pour projection l’ordonnée QM, du cercle décrit sur BB' comme diamètre, et le petit cercle sera la projection de l’ellipse.
140 — Construction de l’ellipse par points. On déduit de ce qui précède un moyen très-simple de construire l’ellipse
par points. Sur chacun des deux axes de l’ellipse comme diamètre on décrit un cercle (fig. 83); du centre on trace un rayon quelconque qui coupe les deux cercles en M, et M,; par le point M, on mène une parallèle au petit axe, par le point M, une parallèle au grand axe; le point d’intersection M de ces deux droites appartient à l’ellipse. Après avoir déterminé de la sorte un nombre suffisant de points, on fait passer un trait continu par tous ces points, et l’ellipse est ainsi construite.
450 — Construire les points d’intersection d’une ellipse et d’une droite. Il est utile desavoir déterminer lespointsoù une
droite donnée MSP coupe une ellipse définie par sesdeux axes AA', BB'(tîg. 84), sans que l’ellipse soit tracée. Comme nous l’avons dit, l’ellipse peut être considérée comme la projection orthogonale du cercle Fig. SI. AB, A' décrit sur le grand axe
AA' comme diamètre, et que l’on fait tourner autour de AA'
d’un angle <p ayant pour cosinus
Cherchons dans le plan du cercle la droite M,M/ qui a pour projection MM' dans le plan de l’ellipse; soit N un point quelconque de la droite MM', le point correspondant N, est placé sur l’ordonnée NQ à une distance telle que l’on ait
NQ N, U
pour le déterminer on mènera la droite BN jusqu’à sa rencontre en H avec l’axe AA'; la droite B,H, se projetant suivant BH, coupe l’ordonnée QN au point N,. On obtiendrait de même un autre point quelconque de la droite M, M', ; mais il est plus simple de se servir du point S où la droite MM' rencontre Taxe; la droite SN, a pour projection la droite donnée sur le plan de l’ellipse. Cette droite SN, coupe le cercle en deux points M„ -M,'; les ordonnées M,P, M| P' détermineront sur la droite don-
DE L’ELLIPSE. 441
née les deux points M, HP où celle droite rencontre l’ellipse.
TANGENTE
151— Nous avons trouvé (n® laS) l’équation de la tangente à une courbe du second degré ; quand l’équation de l’ellipse est mise sous la forme simple
l’équation de la tangente au point M, ayant pour coordonnées X et y, devient
Le coefficient angulaire de la tangente a pour valeur —
On voit qu’en A et A! la tangente est perpendiculaire sur l’axe A' A, qu’en B et B' elle lui est parallèle, et que, quand le point de contact se meut sur l’ellipse de A en B, la tangente
TZ
fait avec A' A un angle obtus qui croît de - à tt.
La normale, étant perpendiculaire à la tangente, a pour équation
Construction de la tangente en un point de l’ellipse. Si, dans l’équation de la tangente, on fait Y =o, on obtient
l’abscisse X = — du point T où la tangente rencontre le pro-
longemen t du grand axe (fig. 85).
Comme cette valeur de OT est indépendante du petit axe 26 et de l’ordonnée y du point de con- “1“ tact, il en résulte que, si sur l’axe A' A on construit plusieurs ellipses, les tangentes aux points qui ont même abscisse passent par un même point T situé sur le prolongement de l’axe A' A. Or, parmi ces ellipses, se trouve
Fig. 85*
le cercle ABjA'; pour construire la tangente à l’ellipse au poini M, on mènera une tangente au cercle au point M,, situé sur la même ordonnée, on joindra le point M au point T, où la tangente au cercle rencontre le prolongement de l’axe A' A; la droite MT, ainsi obtenue, est la tangente à l’ellipse.
Celte construction revient à considérer la tangente à l’ellipsa au point M comme la projection de la tangente au cercle au point correspondant M,. En effet, quand on fait tourner le plan du cercle autour de l’axe AA' de l’angle ç, le point T où la tangente MjT rencontre l’axe reste immobile; le point M, se projetant en M, la droite MjT a pour projection MT; c’est la tangente à l’ellipse.
153 — Mener une tangente par un point extérieur P. Désignons par Æ, et y, les coordonnées du point P (fig. 86). Nous avons trouvé (n“ 126) l’équation de la corde des contacts
MM'. La détermination des points de contact revient donc à la résolution - des deux équations simultanées
Fig. 8C.
xx^
yy± — ,
En éliminant j/j, on obtient l’équation du second degré
dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M' des deux tangentes menées du point P. Cette équation, dans
laquelle on peut regarder - comme l’inconnue, aura ses ra-
cines réelles si la condition — i>o est satisfaite,
c’est-à-<lire si le point P est en dehors de l’ellipse.
Il est facile de construire géométriquement les tangentes menées du point P, en considérant l’ellipse comme la projection du cercle AB, A (flg. 87). Cherchons dans le plan du cercle le pointP,quiapour projection le point P dans le plan de Tel-
DE L’ELLIPSE
pse. Traçons dans le plan de l’ellipse la droite PB que nous rolongerons jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H; la droite
HB„ ayant pour projection HB, passera par le point P, et déterminera ce point.
Du point P, menons au cercle les tangentes P,M„ P,M', que nous prolongerons jusqu’à leur rencontre avec l’axe en T et *’*8- 87. X'; lesdroites PT, PT',
rojections des tangentes au cercle, seront tangentes à l’ellipse, tles points de contact M et M' seront situés sur les ordonnées les points M,, M{. Pour que l’on puisse effectuer ces construcions, il n’est pas nécessaire que l’ellipse soit tracée.
154 — Mener une tangente parallèle à une droite donnée. ioil y—mx l’équation de la droite donnée OL, que l’on leut supposer menée par le centre (fig. 88). Appelons a; et y es coordonnées du point de contact M; ce point étant sur l’ellipse, on a l’équation
Fig. 88.
le coefficient angulaire de la tangente devant être égal à m, on a la seconde équation
Ces deux équations simultanées déterminent les deux inconnues ® et y; la première représente l’ellipse proposée; la seconde une droite MM' passant par le centre; les points où cette droite rencontre l’ellipse sont les points de contact.
U est facile de construire ces tangentes géométriquement. Cherchons d’abord dans le plan du cercle le diamètre OL, qui a
pour projection OL sur le plan de l’ellipse; il suffit de joindre le point B à un point quelconque L de la droite OL et de prolonger la droite BL jusqu’à sa rencontre avec l’axe en H; puis de tracer B, H et de prendre le point d’intersection Lj de cette droite avec l’ordonnée du point L; le point L étant la projection du point L„ la droite OL est la projection de OL,. On mène au cercle des tangentes M,T, M/T', parallèles à 0L„ et par les points ï et V où ces tangentes rencontrent l’axe, des parallèles TM, T'iP à la droite OL. On a les tangentes demandées; car les projections OL, TM des droites parallèles OL,, TM, sont elles-mêmes parallèles. Les points de contact M et M' son déterminés par les ordonnées des points M, et M,.
155 — On peut obtenir l’équation de la tangente à l’ellipse sous une autre forme qu’il est bon de connaître. Cherchons
les points d’intersection de l’ellipse — = i et de la droite IJ = mx -H k.
L’élimination de y conduit à l’équation du second degré
dont les racines sont les abscisses des points d’intersection. Quand cette équation a ses racines réelles et inégales, la droite rencontre l’ellipse en deux points; c’est une sécante. Quand les racines deviennent égales entre elles, ce qui a lieu lorsque la condition A* = a* m- 6* est remplie, les deux points d’intersection se confondent, et la droite devient tangente. Si l'on remplace la constante k par sa valeur, l’équation de la tangente se présente sous la forme
(6) y = mx ± Va*
Cette équation, dans laquelle le paramètre m est arbitraire, représente toutes les tangentes à l’ellipse. Si l’on donne le coefficient angulaire m ou la direction de la tangente, l’équation est entièrement déterminée, et, à cause du double signe, on a deux tangentes parallèles et à égale distance du centre.
DE L’ELLIPSE
Ub
156 — Celte forme donnée à l’éqjualion de la tangente est
util« dans un grand nombre do questions. Pour en montrer un exemple, proposons-nous le problème suivant : Trouver le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse. Supposons que l’on veuille mener par un point extérieur (üg. 89), ayant pour coordonnées x et y, des Fig- 89. tangentes à l’ellipse; si l’on re-
présente la tangente par l’équation
Y = mX ±
la tangente devant passer par le point P, on aura l’équation de condition
, y =z mx ±
dans laquelle le coefficient angulaire m est l’inconnue. Celle équation, mise sous forme entière,
[a- — X-] ■+■ 2xym + — !J') = o
est du second degré; ses deux racines donnent les directions des deux tangentes menées du point P à l’ellipse, et, par conséquent, déterminent ces tangentes. Les deux tangentes mcuées par le point P seront rectangulaires, si le produit des deux valeurs de m est égal à — i, ce qui exige que les coordonnées du point P vériflent la relation
»> ou x--hy- = a^--i-bK
Ainsi le lieu du sommet d’un angle droit circonscrit à l’ellipse est le cercle circonscrit au rectangle construit sur les axes.
DIAMÈTRES
tST— Nous avons trouvé (n®i3i) l’équation générale des diamètres dans les courbes du second degré. En représentant BR. 10
par f {x, y) = O l’équation de la courbe, et par m le cocffi
cient angulaire des cordes para] lèles MM' (fig. 90), nous avons vi que l'équation du diamètre DEV s met sous la forme
fi+mf',=o.
L’ellipse étant rapportée à ses axes Fig. 90. l’équation du diamètre se réduit à
amy
ou y
Si l’on désigne par vn! le coefflcient angulaire du diamèln DD', on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation
Nous avons vu aussi que si l’on mène des cordes MM" parallèles au diamètre DD', le diamètre EE' qui divise ces cordes en deux parties égales a pour coefflcient angulaire m ; les deux diamètres DD', EE' forment un système de diamètres conjugués, et leurs coeffleients angulaires m' et m sont liés par la relation (7).
Cette relation fait voir que les deux coeffleients angulaires ni et m' sont de signes contraires, et, par conséquent, que les deux demi-diamètres conjugués OD et OE, situés d’un même côté du grand axe, sont placés de part et d’autre du petit axe; si le premier part de la position OA et tourne de OA vers OB, le second part de la position OB et tourne de OB vers O.V .
158 — La tangente en un point quelconque D de l’ellipse est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre DD' qui passe au point de contact. En effet, si l’on appelle x et y les coordonnées du point D, le diamètre OD a pour coefficient
angulaire m = ; le coefficient angulaire de la tangente au
OC
oc
point D est m' — — on voit que ces deux coefficicnls
vérifient la relation mm' = — — •
DE L’ELLIPSE. 147
On se rend bien conople de celte propriété en imaginant que la sécante MM' se meut parallèlement au diamètre EE', et s’éloigne du centre; les deux points d’intersection M et M' ce rapprochent de plus en plus du milieu de la corde, et finissent par se confondre en D; alors la sécante devient tangente au point D.
159— Les propriétés des diamètres conjugués se montrent immédiatement, quand on considère l’ellipse comme la projection d’un cercle. Deux diamètres rectangulaires ODj, OE, (fig. 91), dans le plan du cercle, forment un système de diamètres conjugués; car chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre; les cordes parallèles se projettent sur le plan de l’ellipse suivant des cordes parallèles; le milieu d’une corde a pour projection le milieu de la projection de la corde; chacun des diamètres OD et OE, projections des premiers, divise donc en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre; ce sont deux diamètres conjugués de l’ellipse.
On en déduit facilenjent la relation qui existe entre les coefficients angulaires m et m! de deux diamètres conjugués. Si l’on appelle m, et m/ les coefficients angulaires des deux diamètres conjugués OD,, OE, du cercle, on a m = - m,, m'= - m/;
