CL CL
d’où mm' = — J m, mî ; puisque les diamètres conjugués du
cercle sont rectangulaires, on a m, mj=— i; il en résulte
mm— ;■
Quand on donne un diamètre OD, on peut trouver le conjugué OE, sans que l’ellipse soit tracée. On construira le diamètre OD, qui a pour projection OD; on mènera le diamètre OE, perpendiculaire à OD,, et on projettera OE,; la projection OE sera le diamètre demandé.
%.90— Ellipse rapportée à deux diamètres conjugués. Nous
\iS LIVRE III, CHAPITRE IV.
avons vu (n" i38) que, lorsqu’on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués Diy, EE' (fi g. 92) d’une ellipse, l’équation de la courbe se simplifie et prend la forme
Désignons par 2 a' et 2 6' les longueurs de ces diamètres conjugués; si, dans l’équation précédente, on fait successivement y = o et x = o, H H
on a = 6'-=^. ce qui permet d’écrire l’équation de
la courbe de la manière suivante
bf'-
Ainsi l’équation de l’ellipse conserve la même forme, que la courbe soit rapportée à ses axes, ou à un système de diamètres conjugués.
Les calculs qui ont été effectués pour démontrer les propriétés de l’ellipse, au moyen de l’équation de la courbe rapportée à ses axes, et dans lesquels on n’a pas supposé les coordonnées orthogonales, pourront être répétés avec l’équation de la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués. Ainsi, l'ellipse étant rapportée au sytème des diamètres conjugués OD et OE, la tangente aura pour équation
Mais l’équation de la normale ne conserverait pas la forme qui correspond aux axes de coordonnées OA et OB.
1«1— Si l’on appelle a et ^ les angles que font les deux demi-diamètres OD, OE avec le grand axe OA, a' et b' leurs longueurs, ou a, d’après l’équation (3) du n" i44i
<i*cos*a o'*sin’a
fc'-cos*^ è'*sin*|î
DE L’ELLIPSE. 149
Les deux diamètres étant conjugués, on a, en outre, la relation
tangatangp=—
, . cosacosS sinasinS
ou (II) — !-H j- — !-=o.
Des deux angles a et p, l’un est aigu, l’autre obtus; nous supposerons a aigu, ^ obtus. Les quatre quantités variables a, p, a', b', dont une seule est arbitraire, sont liées par trois relations; en combinant ces relations, on en déduit divers théorèmes.
16»— Si l’on multiplie par a'b^ les deux membres de la relation (ii), on peut l’écrire sous la forme suivante
a' cos a
a'sina
b' sin [i
' — y cos 'P
chacune de ces fractions est égale à une fraction ayant pour numérateur la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs, et pour dénominateur la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs; en vertu des relations (9) et (10), ces deux sommes sont égales à l’unité; on a donc
a'sina
a' cos a
b' sin B — ?/cos[i
J’üù
a'cosa 6'sin^ a'sina t'cosfi
U sin SC . »
Si, dans la relation (9), on remplace — t — par la quantité
égale — il vient
(12) a'*cos^a-t-6'*cos’P = a*.
of cos X
Si, dans la même relation, on remplace — par la quan- . , 6' sin S
tite égalé — -, — on a aussi ° b
(i3) a'*sin’a-h6'-sin*(i = i»^
loO LIVRE III, CHAPITRE IV.
Les deux relations (12) et (i3) signifient que la somme des carrés des projections de deux diamètres conjugués quelconques sur chacun des axes est constante et égale au carré de cet axe.
En ajoutant les deux relations (12) et (i3) membre à membre, on obtient
ainsi, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la somme des carres des axes.
163 — En décomposant chacun des termes de la relation {g) en deux facteurs, on peut la mettre sous la forme
a'cosa a'cosa a'sina a'sinod
. , . J . , a'cosa a'sina
SI Ion remplace les seconds fadeurs — - — » — —
, , 6'sinS 6' cos 3 . ,
quantités égalés — r— il vient
par les
a'6'(sinPcosa — sinacosp)
ab *’
ou (i5) a'6'sin(^ — oî) = ab.
Le produit a' b' sin — a) est la mesure de Taire du parallélogramme ODKE (ûg. 92); en multipliant par 4> on obtient Taire du parallélogramme circonscrit FGHK. Ainsi, l’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale au rectangle construit sur les axes.
Le parallélogramme inscrit DEETE', qu’on obtient en joignant les extrémités des diamètres conjugués, est la moitié du précédent, et a aussi une aire constante.
104 — On peut démontrer facilement ces théorèmes en considérant Tellipse comme la projection d’un cercle.
Deux diamètres conjugués OD et OE de Tellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires OD, et OE, du cercle (flg. 91). Les angles D,OP, E,OQ étant complémentaires, les triangles rectangles D,OP, E,OQ sont égaux, et Ton a OQ = D,P; mais OP’ -f- D, P’ = OD,* = a®; il en résulte
ÔÎ*-i-Üi? = aL
DE L’ELLIPSE
Les longueurs OP el OQ sont les projections des deux demiliamctres conjugués OD et OE sur le grand axe de l’ellipse, on voit que la somme des carrés de ces deux projections est :;on8tante, et l’on a
a'* cos a + b'* cos* p = a*.
Il en est de même pour l’autre axe; les projections des deux demi-diamètres conjugués sur le petit axe sont égales aux
ordonnées DP et EQ; mais DP = ^ D,P, EQ = ^E,Q, et, par
suite, DP‘-H EU* = ^ (D, p’ -t- E,0’); les longueurs EjOetOP
étant égales; on a D, P* -l- E, Ü* = D, P*-l- OP* = a*, et, par suite ,
DP’h-ËQ* = 6‘,
ou a'*sin*a-t-6'*sin*^ = &*.
En ajoutant membre à membre les deux relations précédentes, on obtient la relation
10«l» — Pour démontrer la propriété relative à l’aire du parallélogramme, nous nous servirons du théorème suivant :
La projection d’une aire plane sur un plan quelconque est égale à l’aire projetée multipliée par le cosinus de l’angle des deux plans.
Considérons d’abord un triangle ABC (flg. gS) ayant un côté AB parallèle au plan de projection ; nous pouvons supposer que
le plan de projection passe par ce côté AB ; du sommet C abaissons sur ce plan une perpendiculaire CC', et, dans ce plan, menons C'D perpendiculaire à AB; la droite CD sera aussi perpendiculaire à AB et l’angle CDC' mesurera l’angle dièdre ç des deux plans. Cela posé, on a
C'D = CD cosç,
,, , ABxC'D ABxCD dou = cosç.
et, par suite.
AC' B = ACB X cos<p.
Ainsi, l’aire du triangle AC'R est égale à celle du triangle ACB multipliée par cosip.
Supposons maintenant que le triangle ABC (fig. g4) n’ait aucun de ses côtés parallèle au plan de projection; nous pouvons faire passer ce plan par le sommet A, de telle sorte que les deux autres sommets soient d’un même côté, le plan du triangle prolongé coupe Je plan de projection suivant une droite AI, et la droite CB perce ce plan au point I; les triangles AlC, AIR se projettent suivant AIC', AIB', et l’on a, d’après ce qui a été dit,
AIC' = AICxcos(p,
A1B'= AlBxcosç;
d’où, par soustraction,
AB' C' = ABC X cos<p.
Le théorème, étant démontré pour un triangle, s’étend à un polygone plan quelconque, que Ton peut toujours décomposer on triangles, et même à une aire plane limitée par une courbe fermée quelconque; car on peut regarder cette aire plane comme la limite de l’aire d’un polygone inscrit, dont on augmente indéfiniment le nombre des côtés de manière que chacun tende vers zéro.
Quand on considère l’ellipse comme la projection d’un cercle, le parallélogramme construit sur deux diamètres conugués est la projection d’un carré circonscrit au cercle; le carré ayant une aire constante égale à 4a% celle du parallélogramme est aussi constante et égale à 4a*cos<p, c’est-à-dire à 4aô.
AIRE DE l’ellipse.
166— Le même théorème nous donne immédiatement l’aire de l’ellipse. L’ellipse étant la projection d’un cercle, sou aire est égale à celle du cercle ira®, multipliée par coso ou
par ce q^ui donne 7:ab.
DE L’ELLIPSE
DIAMETRES CONJLGl’ES EGAUX.
167 — Nous avons vu (n® 107) que les deux demi-diamèlres conjugués OD et OE sont situés de part et d’autre du petit axe g OB (fig. 90). On sait que le rayon de
l’ellipse est d'autant plus grand qu’il s’écarte davantage du petit axe; pour A que les deux diamètres conjugués deviennent égaux, il faut donc que ces deux diamètres fassent des angles égaux Fig. 9s. avec le petit axe OB, ce qui exige que les
angles a et § soient supplémentaires. On a donc tang*a = —
et, par suite, tanga = -; ainsi, les diamètres conjugués égaux
OG et OH coïncident avec les diagonales du rectangle construit sur les axes.
De la relation on déduit a'-=^ '
et l’équation de l’ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués égaux, devient
, , , a^-hb^
elle a même forme que l’équation du cercle, seulement les coordonnées sont obliques.
Cette équation signifie que la somme des carrés des dis-
tances de chacun des points de
conjugués égaux est constante.
En effet, soient 6 l’angledes deux diamètres conjugués égaux, MP et MQ les coordonnées du point M, ME et MF les perpendiculaires abaissées du point M sur ces diamètres, on a (fig. 96) ME = ysin9, MF = x^sin6; d’oii
(a--hb^) sin^9 7.a^b^
Fig. 90.
ME
MF’=(a:'*-t-ÿ'*)sin’(l =
Fig. 97.
