CORDES SUPPLÉMENTAIRES

168 — On appelle cordes supplémentaires dans l’ellipse deux cordes MC, MC', qui, partant d’un même point de Eel-

lipse, aboutissent aux extrémités d’un diamètre CC' (fig. 97).

Deux cordes supplémentaires sont parallèles à deux diamètres conjugués.

Menons, en effet, les diamètres OD et OE parallèles aux cordes supplémentaires MC', MC. Dans le triangle CMC', la droite OD parallèle à C'M divise en parties proportionnelles les deux côtés CC' et CM ; le centre O étant le milieu de CC', il en résulte que le diamètre OD divise en deux parties égales la corde CM, et, par suite, toutes les cordes parallèles au diamètre OE. De même, le diamètre OE divise en deux parties égales la corde C'M, et, par suite, toutes les cordes parallèles à OD. Donc les deux diamètres OD et OE, parallèles aux cordes supplémentaires MC', MC, sont conjugués.

Réciproquement, si par les extrémités d’un diamètre CC' on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués OD et OE, ces droites se couperont sur l’ellipse. En effet, soit M le point où la corde CM, parallèle à OE, rencontre Tellipse; joignons C'M; les cordes supplémentaires MC, MC' étant parallèles à deux diamètres conjugués, la seconde corde C'M sera parallèle à OD.

169— L’étude de la variation de l’angle de deux diamètres conjugués est ainsi ramenée à l’étude de la variation de l’angle de deux cordes supplémentaires, c’est-à-dire de l’angle inscrit dans une demi-ellipse. Pour simplifier le calcul, on supposera

les deux cordes supplémentaires menées par les extrémités du grand axe (fig. 98). L’angle AMA', que nous appellerons 6, est égal à la différence des deux angles MAX, MA'X; les deux droites AM et A'M ayant pour coeffl-

y ei y -

dents angulaires

DE L’ELLIPSE

. x — a x-\-a zaïj

taog«= —, — =

it* — a*

l, en remplaçant x’ par sa \aleur tirée de l’équation de Tclpse,

iang6:

aa6*

tile point M décrit la moitié supérieure ÀMÂ' de l’ellipse, la angente étant négative, l’angle 6 est obtus; quand le point M ;staii point A, c’est-à-dire quand y = o, l’angle 0 est droit; e point M marchant de A vers B, y augmente; la valeur ab- K)lue de tangO diminuant, l’angle obtus 6 augmente aussi et icquiert sa valeur maximum au point B; alors on a y = 6 et

langO= — ’ <pjaad le point M dépasse le point B et

parcourt le quart d’ellipse BA^ l’angle 0 diminue de sa valeur maximum jusqu’à un angle droit.

11 résulte de là que l’angle des demi-diamètres conjugués OD et OE, situés d’un même côté du grand axe, est obtus et varie depuis un angle droit jusqu’à la valeur maximum ABA'; les diamètres conjugués, qui comprennent l’angle maximum, étant respectivement parallèles aux cordes supplémentaires A'B et AB, et, par suite, également inclinés de part et d’autre du petit axe OB, sont égaux.

Nous avons étudié la variation de l’angle obtus DOE de deux diamètres conjugués, l’angle aigu DOE' varie en sens inverse. On obtient directement cet angle en menant les cordes supplémentaires par les extrémités du petit axe BB'; quand le point M décrit le quart d’ellipse BA, l’angle inscrit diminue depuis un angle droit jusqu’au minimum BAB', supplémentaire du maximum obtus ABA'.

ITO — Lorsqu’une ellipse est tracée, on peut déterminer t'faphiquement le centre et les axes. Pour trouver le centre, on mènera deux cordes parallèles sufQsamment écartées l’une de l’autre; on joindra les milieux de ces cordes, ce qui don-

nera un diamètre dont le milieu sera le centre. Si, sur ce diamètre, on décrit un demi-cercle, et que Ton joigne aux deux extrémités du diamètre le point où ce demi-cercle coupe la demi-ellipse, on aura deux cordes supplémentaires perpendiculaires entre elles; les diamètres parallèles, formant un système de diamètres conjugués rectangulaires, seront les axes de l’ellipse.

On pourrait obtenir de la même manière les deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné compris entre le minimum et le maximum; il suffirait de décrire sur un diamètre un segment capable de l’angle donné.

174 — Construire une ellipse, étant donnés deux diamètres conjugués. Soient DD', EE' (fig. 99) les deux diamètres conjugués donnés, dont nous désignerons les longueurs par 2a' et

2b'. L’équation de l’ellipse, rapportée à ces deux diamètres conjugués, est

Fig. no.

Par le centre menons la droite E,EJ perpendiculaire à DD' et prenons OE, = OE ; l’ellipse qui a pour axes DD', E,E,, rapportée à ces axes, est représentée par la même équation. Il en résulte que les ordonnées MP, M,P, qui correspondent à une même abscisse OP, sont égales entre elles. Imaginons que, par le procédé indiqué au n” 147, on ait construit différents points de l’ellipse DE,D', dont on connaît les axes; soit Mj l’un de ces points, M,P son ordonnée; si, par le point P, on mène PM parallèle à OE et égale à PM„ on aura un point M de l’ellipse demandée. Chaque point de la première ellipse donnera un point correspondant de la seconde. Ceci revient à déformer la première ellipse en faisant tourner chaque ordonnée PM, autour de son pied P d’un angle constant.

Le même mode de transformation s’applique à la tangente.

DE L’ELLIPSE

a tangente au point M est représentée par l’équation

n coordonnées obliques; cette équation représente aussi la ingente au point en coordonnées rectangulaires. Ces deux angentes coupent le prolongement du diamètre DD' au même loint T, dont on obtient l'abscisse en faisant Y = o.

Au lieu de construire l’ellipse par points, comme nous Taxons ;xpliqué, on pourrait déterminer d’abord les axes de l’ellipse, ;t construire ensuite cette ellipse au moyen de ses axes. La létermination des axes dépend du théorème suivant.

— Deux diamélres conjugués quelconques délerminent sur une tangente fixe PQ deux segments DP, DQ dont le produit fst constant et égal au carré du demi-diamètre OE parallèle à la tangente (fig. loo).

Si Ton prend pour axes des - „ /' /• . \ coordonnées le diamètre OD,

i \ passe par le point de con-

I ; *act et le diamètre conjugué

' — V OE, et si Ton appelle a! et h'

les longueurs de ces demidiamètres, l’équation de Telrig- 100. lipse est

Soient y = mx, y — m'x

les équations de deux diamètres conjugués OA, OB; d’après la remarque faite au n° 160, les coefficients angulaires seront liés 6'*

par la relation mm'=— Si, dans ces équations, on fait i=a', on trouve DP= — ma', BQ = m'a', d’où DP X DQ = — mm'a’ = 6'*.

173 — On démontre facilement ce théorème quand on considère l’ellipse comme la projection d’un cercle. Soient OA,, IIB, (fig. loi) deux diamètres rectangulaires du cercle, P,Q, la tangente en un point quelconque M,; menons le rayon OM, et

158 LIVRE m, CHAPITRE IV.

le rayon ON, parallèle à la tangente; dans le triangle rectangle P,OQ„ on a

M.P,xM,Q, = OM* = ON*.

Quand on projette la figure, les diamètres O„ OB, donnent deux diamètres conjugués de l’ellipse, la tangente P,Q, une tangente à l’ellipse et la droite ON, une parallèle à cette Fig. 101. tangente; les droites M,P,, M,Q,, ON,

étant parallèles ont des projections MP, MQ, ON qui leur sont proportionnelles, on a donc aussi entré ces projections la relation

MP.MQ = ON\

%74L — Supposons que tes deux diamètres conjugués OA et OB soient les axes de l’ellipse (fig. loo). Le cercle décrit sur PQ comme diamètre passe par le point O, et l’ordonnée DH, perpendiculaire à PQ, est égale à OE. 11 en résulte un moyen facile de construire les directions des axes, quand on connaît deux diamètres conjugués OD et OE. Par le point D on mènera une parallèle à OE; celte parallèle sera tangente au point D; on élèvera sur celte droite une perpendiculaire DH égale à OE, et on décrira un cercle ayant son centre sur PQ et passant par les points O et H; les droites OP et OQ qui vont du centre aux deux points P et Q, où le cercle coupe la tangente, donneront les directions des axes.

1X5—11 reste à déterminer les grandeurs des axes. Des relations

a’ -t- 6’ = a'* -H 6'*, a& = a't/sin9, démontrées aux n»» 162 et i63, on déduit

(a — b)* = a''-\-V* — 2a'6'sin6 = — 2a'è'cos0 — 0^

(a-+-9)*=o'*-+- 6'*-l-2a'è'sin0 = b'* — 2a^6'cos^^’-f-0^-

Comme on peut supposer que 6 désigne l’angle aigu des diamètres conjugués, on voit par ces formules que la longueur a — 6 est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres

DE L’ELLIPSE. iSD

côtés sont égaux à a' et à ô' et dont l’angle compris est ^ — 6-

Ce triangle est le triangle ODH; car l’angle ODH est égal à ^ — 6,

et les deux côtés DO et DH sont égaux à a' et h'-, ainsi le troisième côté OH donnera o — 6. De même a -t- 6 est le troisième côté d’un triangle dont les deux autres côtés sont égaux à a' et à b' et l’angle compris supplémentaire du précédent; ce triangle est le triangle ODK, que l’on obtient en prolongeant la perpendiculaire DH d’une longueur égale à elle-même; le troisième côté OK donnera a -1- 6. Si du point O comme centre, avec OH pour rayon, on décrit un cercle, la longueur Kl sera égale au grand axe 2 a, la longueur KL au petit axe 26.

On peut remarquer que le grand axe OA est la bissectrice de l’angle HOK, le petit axe la bissectrice de l’angle supplémentaire.

DESCRIPTION DE l’ELLIPSE d’uN MOUVEMENT CONTINU.

176— Lorsque les deux extrémités d’une droite CD de longueur constante glissent sur deux droites rectangulaires OX, OY, un point M de cette droite décrit une ellipse (fig. 102).

Prenons pour axes des coordonnées les deux droites fixes ; appelons 0 et 6 les deux longueurs constantes MD, MC, x ei y

les coordonnées variables du point M. Les triangles semblables MPC,

> ou

Fig. 102. Le lieu décrit par le point M est donc

une ellipse dont les axes 2 a et 26 sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires données.

H n’est pas nécessaire que le point M soit situé sur la droite mobile entre les points C et D ; il peut être situé sur le prolongement. Considérons la droite C'D^ dont les deux points C' et D' glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY, et chcrcbons le lieu décrit par le point M. Si l’on appelle o et ô

les distances MIV et MC', les triangles semblables MPC', IV QS donnent, comme précédemment,

MP MC „ b

C ~Miy’ a

C’est sur cette propriété que reposela construction d’un petit instrument appelé compas elliptique. Deux pointes sont Axées en deux points C' etlK, pris à volonté sur une droite C'D', et un crayon au point M; les deux pointes glissent dans des rainures rectangulaires tracées sur une plaque de bois; le crayon placé en M décrit l’ellipse d’un mouvement continu.

“17 y — Il est à remarquer que la normale à l’ellipse an point M passe par le point d’intersection K des perpendiculaires élevées par les points C et D sur les deux droites Axes. En effet, si l’on appelle ar, et les coordonnées du point K, les triangles semblables MPC, DQM, donnent

d’où

Ainsi le coefücient angulaire de la droite KM est égal à celui de la normale à l’ellipse du point M.

478 — On peut généraliser ce théorème et l’énoncer ainsi : Quand deux points E, F, d’un plan mobile glissent sur deux droites OA, OB, situées dans un plan fixe, un point quelconque du plan mobile décrit une ellipse (Ag. io3). Considérons une ï/ position particulière du plan mobile;

m'-- P / aux points E et F élevons des perpen-

diculaires sur les droites OA et OB, et / ' soit K le point de concours de ces per-

I j / \ v' \ il pendiculaires; le cercle décrit sur OK

l / / 1 comme diamètre passe par les points

— jE et F. La droite EF étant constante, — y ainsi que l’angle EOF, le diamètre du Fig. 103. cercle est constant. Supposons le cercle

lié à la droite EF d’une manière invariable, et emporté avec elle dans son mouvement; le cercle passera constamment par

DE L’ELLIPSE. 161

le point 0; tout point D du cercle décrira une ligne droite OY. puisque. Parc FD ayant une longueur constante, l’angle FOD est constant.

Considérons maintenant un point quelconque M du plan mobile. Joignons ce point au centre 1 du cercle, et marquons les deux extrémités C et D de ce diamètre. En vertu de ce qui précède, les deux points C et D glissent sur les deux droites rectangulaires OX et OY; on en conclut que le point M décrit une ellipse dont les axes, égaux au double des distances MC et MD, sont dirigés suivant les deux droites rectangulaires OY et OX. En particulier le point 1 décrit un cercle.

Les perpendiculaires élevées par les points C et D sur les droites OX et OY se coupent au point K; il en résulte que la droite MK est normale à l’ellipse au point M. Si Pon considère les ellipses décrites par différents points du plan mobile, on voit que les normales à toutes ces ellipses aux points correspondants passent par le même point K.

Le diamètre OK du cercle mobile ayant une longueur constante, le lieu du point K dans le plan fixe est le cercle décrit du point O comme centre avec un rayon égal à OK(fig. 104.) Le

cercle mobile reste constamment tan- // ! ^ cercle fixe. Soit OK' une nou-

/ Vf/ position du cercle mobile ; le dia-

! J\ rencontre en K, le cercle

\ J y I dans sa première position; ce point K,

\ / /du cercle mobile décrit, comme nous

l’avons vu, le diamètre K' K"; dans la Fig 101. seconde position du cercle mobile, il est

donc venu en K'. Dans le cercle fixe, l’angle au centre, KOK' a pour mesure le rapport de l’arc KK' au rayon OK; dans le petit cercle, Pangle inscrit KOK, a pour mesure le rapport de l’arc KK, au diamètre OK; on en conclut l’égalité des deux arcs KK' et KK,. Il résulte de là que l’on peut obtenir le mouvement du plan mobile dans le plan fixe en faisant rouler le cercle mobile sur le cercle fixe, sans glissement, c’est-à-dire de telle sorte que les arcs KK' et KK, des deux cercles compris entre les points de contact, dans deux positions quelconques, soient égaux, nn. 1 1

EXERCICES

1° Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugues d'une ellipse.

2» Trouver le lieu du milieu des cordes menées par un même point dans une ellipse.

3“ Une corde d'un cercle se meut parallèlement è elle-même; par les extrémités on mène des droites parallèles à deux directions données ; trouver le lieu du point de rencontre des parallèles.

4“ Parmi tous les parallélogrammes circonscrits k une même ellipse, les parallélogrammes construits sur deux diamètres conjugués ont une aire minimum.

3'’ Parmi tous les parallélogrammes inscrits k une même ellipse, ceux dont les diagonales forment un système de diamètres conjugués ont une aire maximum.

6° De toutes les ellipses inscrites k un même parallélogramme, quelle est la plus grande?

7“ De toutes les ellipses circonscrites dans un même parallélogramme, quelle est la plus petite?

8“ Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de l’ellipse, les axes forment une somme minimum et les diamètres conjugués égaux une somme maximum.

9* Inscrire dans l’ellipse une corde telle que la somme de sa longueur et la distance de son point milieu au centre soient maximum.

<0® Une droite se meut parallèlement k elle-même dans le plan de deux autres; on preml sur elle un point tel que la somme des carrés de ses distances aux intersections avec les droites Gxes suit constante : quel est le lieu décrit par le point?

41® Etant données deux ellipses quelconques, on peut déterminer deux directions parallèles k la fois k deux diamètres conjugués de l’une et de l’autre ellipse; par les points communs aux deux courbes passe une troisième ellipse dans laquelle les diamètres conjugués égaux seront parallèles k ces deux directions.

12“ Une ellipse tourne autour de son centre, aux points où elle coupe une droite fixe on mène des tangentes k la courbe; trouver le lieu du point d’intersection de ces tangentes.

13“ On donne un cercle et une droite fixe passant par son centre; une droite mobile égale au rayon s’appuie par une de ses extrémités sur le cercle, par l’autre sur la droite; trouver le lieu décrit par un point de la droite mobile.

DE L’ELLIPSE

li’ Un plan mobile se meut sur un plan fixe, de manière que deux droites du plan mobile restent tangentes respectivement à deux cercles du plan fixe; trouver le lieu tracé par un point du plan fixe sur le plan mobile. 13* Trouver Taire de Tellipse définie par Téquaticn A a;* + Bxÿ -f- C y* = 1 .

16* Un triangle étant inscrit dans une ellipse, si on appelle R le rayon

du cercle circonscrit, et d, d', d" les demi-diamètres parallèles aux côtés

dd'd" on a K = — ; — .

ab

17* Un rectangle quelconque étant circonscrit 3 une ellipse, le parallélogramme qui a pour sommets les points de contact a un périmètre constant, et deux côtés consécutiTs font avec la tangente des angles égaux.

18* A partir d’un point quelconque d’une ellipse on porte sur la nurmale

une longueur égale à k étant une constante et p la perpendiculaire

abaissée du centre sur la tangente; trouver le lieu de l’extrémité de cetle droite.