CHAPITRE V
De l’hjperbole.
179 — Construisons maintenant le lieu défini par l’équation Mx’ -4- N (/’ -I- Fj = O,
dans laquelle M et N ont des signes contraires. Nous supposerons M positif, N négatif et égal à — N'. Si F, est égal à zéro, l’équation
Mx’ — N'y’ = o, résolue par rapport à y, donne
die représente deux droites passant à l’origine. Le cas où F, est positif se ramène au cas où F, est négatif par la permutation des axes, ce qui revient à remplacer dans l’équation y para: et x par y; nous poserons donc F,= — H; l’équation prend la forme
Mx* — N'(/*=H
dans laquelle M, N' et H sont des nombres positifs.
16i LIVRE III, CHAPITRE V.
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires; Taxe des x est donc un axe de symétrie de la courbe; il en est de même de Taxe des y. On en conclut que l’origine est centre de la courbe; on peut démontrer celte dernière propriété en observant que si l’équation est vérifiée par les coordonnées xel y d’un point, elle est vérifiée également par les coordonnées — x et — ÿ du point symétrique.
En résolvant l’équation par rapport à y, on obtient
/Mæ* — H
Pour que y soit réelle, il faut que la valeur numérique de x soit supérieure à Portons donc sur l’axe X'X, à partir de
l’origine, deux longueurs OA, OA' égales à et, par les
points A et A', menons des parallèles à OY (üg. io5); la courbe n’a aucun point entre ces deux parallèles. Quand a; = OA, l’ordonnée y est nulle, ce qui donne le point A; si l’on fait croître x indéfiniment à partir de OA, la valeur numérique de y croît aussi indéfiniment à partir de zéro ; on a ainsi deux arcs infinis AD et AD'.
En faisant varier x depuis — OA' à — co , on obtient deux autres arcs infinis A'E, A'E', symétriques des précédents par rapport à OY. Ces quatre arcs constituent les deux branches de l’hyperbole, qui admettent pour axes de symétrie les deux droites X'X, Y'Y. Le premier de ces axes rencontre seul la courbe, on l’appelle axe transverse; le second est l’axe non transverse ou imaginaire; les points A et A' sont les deux
sommets de la courbe. Si l’on pose, pour abréger, a = y/^.
b = y . l’équation se met sous la forme
Fip. 105.
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DE L’HYPERBOLE
Les dimensions de l’hyperbole dépendent uniquement des deux lignes a et &; on dit que ces deux paramètres sont les longueurs des demi-axes de la courbe, le premier est le demia:<e réel, le second le demi-axe imaginaire.
ISO — Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l'axe transverse sont proportionnels aux produits des segments correspondants formés sur cet axe.
En effet, de l’équation (i) on déduit
donc
MP’ b' A'PxAP~a‘’
181 — Asymptotes. — Nous avons vu (n® i3o) que, quand l’origine des coordonnées coïncide avec le centre de l’hyperl)oIe, on obtient l’équation des asymptotes en supprimant le terme constant dans l’équation de la courbe. Les deux asymptotes RR', SS' auront ici pour équation
(a) — — = ou y=±-x.
On peut vérifier aisément que la différence MN des ordonnées de la droite OR et de l’arc AD a pour limite zéro; car cette différence a pour expression
-{x — yjx- — U’)
ab
X VvC* — a*
L’arc .\D est compris dans l’angle ROX et se rapproche indétiniment de la droite OR, qui est son asymptote. Les droites OU', OS, OS' sont de même les asymptotes des arcs A'E', A'E, Aiy. D’après l’équation (a), on voit que les asymptotes R'R, S' S sont les diagonales du rectangle construit sur les axes.
182 — Hyperboles conjuguées. — Deux hyperboles sont dites conjuguées lorsque, ayant même centre et mêmes axes, l’axe réel de l’une est axe imaginaire de l’autre. Ainsi l’hyperbole proposée a pour conjuguée une autre hyperbole ayant pour axe Iransverse b et pour axe imaginaire a (fig. io6). L’équation de
celle seconde hyperbole esl évidemmenl æ’ w*
Deux hyperboles conjuguées onl les mêmes asymploles, puisque le reclangle conslruit sur les axes esl le même pour les deux courbes. L’une des courbes est comprise dans les deux angles s- ROS', R'OS opposés par le som- Fig. loc. mel, la seconde dans les deux
aulres angles ROS, R'OS^
1S3 — fli/perbole équilatère. — On dil qu’une hyperbole est êquilalère lorsque les axes a et 6 ont même longueur. Dans ce cas, le rectangle des axes devient un carré, et les asymptotes sont perpendiculaires entre elles; l’hyperbole conjuguée est égale à la première; on l’obtient en faisant tourner celle-ci d’un angle droit autour de son centre.
L’hyperbole dont les axes sont a et 6 peut être construite au moyen de l’hyperbole équilatère dont l’axe est a, comme on a construit l’ellipse ayant pour axes o et 6 au moyen du cercle de rayon o, c’est-à-dire que la première hyperbole peut être regardée comme la projection orthogonale de la seconde. Mais cette considération n’est d’aucune utilité dans les constructions graphiques relatives à l'hyperbole, parce que le tracé d’une hyperbole équilatère n’est pas plus simple que celui d’une hyperbole quelconque.
384 — Soient a; et y les coordonnées d’un point quelconque
du plan; considérons le polynôme
Pour un point M appartenant à la courbe, ce polynôme est égal à zéro; si l’on fait marcher un point Fig. 107. P à partir de M sur une parallèle à
DE L’HYPERBOLE
l’axe Iransverse AA' 107), le terme conserve une va-
leur invariable, tandis que le terme. — diminue ou augmente
suivant que le point P se rapproche ou s’éloigne de l’axe des y. H en résulte que le polynôme a une valeur négative pour tous les points situés entre les deux branches de l’hyperbole, et positive pour tous les autres points du plan.
TANGENTE
185— L’équation de la tangente au point M, dont les coordonnées sont a; et y, est
Pour construire cette droite, on peut déterminer le point T (fig. 107), où elle coupe l’axe OX. Si, dans l’équation (3), on
fait Y = o, il vient X = OT =— ; on obtient cette longueur
OT par une troisième proportionnelle.
180 — Le coefflcient angulaire de la tangente a pour valeur b-x b
Supposons que le point M décrive l'arc AD; en A le coefficient angulaire est infini et la tangente perpendiculaire à l’axe transverse; x augmentant, le coefficient angulaire diminue
constamment et tend vers la limite -» coefficient angulaire
de l’asymptote OR; l’angle MTX diminue donc de ^ à ROX;
en même temps la valeur de OT diminue de o à o; il en résulte que l’asymptote est la position limite de la tangente quand le point de contact s’éloigne indéfiniment.
18J' — Mener une tangente par un point extérieur P. — Si l’on appelle a?, et y, les coordonnées du point P, les points de
168 LIVRE m, CHAPITRE V.
contact sont déterminés par l’équation de la corde des contacts
jointe à l’équation (i) de l’hyperbole.
En éliminant y, on obtient l’équation du second degré
x'(x* yV\ x.x l w*\
dont les racines sont les abscisses des points de contact M et M' des deux tangentes menées du point P. La condition de réalité
des racines est — — — i <o, c’est-à-dire que le point P
doit être placé entre les deux branches de la courbe. Si le point P est placé dans les angles des asymptotes qui compren-
