JJ

nent la courbe, le coefficient est positif, le produit

des deux racines est positif; par suite les deux racines sont de même signe et les deux points de contact sur une même branche de la courbe. Au contraire, si le point P est dans l’un des angles ROS, R' OS', il y a un point de contact sur chacune des branches.

•188— Tangente parallèle à une droite donnée.— En appelant m le coefficient angulaire de la droite donnée, on trouve par un calcul analogue à celui du n” i55, que l’équation de la tangente est

(5) y — tnx ± — à*.

Pour que le problème soit possible, il faut que la valeur de ni*

soit plus grande que — . c’est-à-dire que, si la droite donnée

passe à l’origine, elle doit être comprise dans l’angle ROS. Nous avons vu déjà (n“ i86) que la valeur numérique du coefficient

angulaire d’une tangente est plus grande que -•

189-On ne peut mener à une hyperbole deux tangentes rectangulaires que lorsejue l’angle ROS' est moindre qu’un angle droit, c’est-à-dire lorsque a est plus grand que b; quand celte condition est satisfaite, le lieu du sommet d’un angle droit

DE L’HYPERBOLE

circonscrit à l’hyerbole a pour équation x'-\-y'‘=a} — 6*; c’est un cercle concentrique à la courbe.

DIAMETRES.

190— Lorsque l’hyperbole est rapportée à ses axes, le diamètre qui divise en deux parties égales les cordes dont le coefûcient angulaire est m a pour équation

ou

ÿm = o, 6'

Si l’on désigne par m' le coefficient angulaire du diamètre, on a, entre la direction des cordes et celle du diamètre, la relation

Celle relation montre que si l’on prend m' pour coefficient angulaire des cordes, on trouvera m pour coefficient angulaire du diamètre; c’est-à-dire que si la droite Diy divise en deux parties égales les cordes parallèles à EE' (fig. io8), réciproquement la droite EE' divise en parties égales les cordes parallèles à DD'. Ainsi les deux diamètres DD', EE' sont tels que chacun divise en parties égales les cordes parallèles à l’autre; ce sont deux diamètres conjugués.

L’hyperbole a une infinité de systèmes de diamètres conjugués, puisque l’on peut prendre à volonté l’un des diamètres. La relation (6) exige que m et m' aient le même signe; si on

les suppose positifs, m variant de o à m' variera de oo à

le diamètre DIV tourne de 0.\ vers l’asymptote OR, et le diamètre EE' de OB' vers la même asymptote. On voit ainsi que, des deux diamètres, l’un rencontre toujours la courbe, et que

l’autre ne la rencontre pas. Les axes forment le seul système de diamètres conjugués rectangulaires, eti’angle aigu de deux

diamètres conjugués varie de ^ à o.

On démontre comme pour l’ellipse que la tangente FH en un point D de l’hyperbole est parallèle au diamètre EE' conjugué du diamètre DIV qui passe au point de contact,

flOl — Deux hyperboles conjuguées et le système de leurs asymptotes admettent le même diamètre pour la même série de cordes; car les équations des trois lieux

ne diffèrent que par le terme constant qui n’entre pas dans l’équation du diamètre /’i-f-fn/‘' = o. Les trois lieux admettent aussi les mêmes systèmes de diamètres conjugués.

Si l’hyperbole est équilatère, la relation mm' = — devient

mm' — i, ce qui signifie que les angles DOX, EOX sont complémentaires, et, par suite, que les asymptotes sont bissectrices des angles des diamètres conjugués.

t.92~IIyperbole rapportée à deux diamètres conjugués. — Si l’on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués d’une hyperbole, nous avons vu que l’équation de la courbe conserve la forme

Prenons pour axe des x le diamètre qui rencontre la courbe; on peut supposer H positive, alors M sera positive et N négative. La longueur du premier demi-diamètre est la distance OD du point 0 au point de rencontre du diamètre avec la

courbe; cette longueur a pour expression a' = On ap-

pelle longueur du second diamètre la quantité V = y/