JJ JJ

Si l’on remplace M par ^ et N par l’équation précédente devient

, . aj'® y'*

Digilized by GoogI

On peut arriver à ce même résultat par une transformation de

coordonnées; si l’on remplace dans l’équation — — i = o

les variables x el y par les valeurs

JC = .1;/ cos a -H y' cos [3, y = a/sina + j/'sin (3,

comme le terme constant ne change pas, et qu'on doit arriver à l’équation (7), on en conclut que le polynôme ^ devient

identiquement^ — La même transformation appliquée

à l’hyperbole conjuguée donnera ^ — p^-{-i = o. Le demi-

diamètre imaginaire 6' de l’hyperbole proposée dirigé suivant OY' a donc pour longueur la distance OE du point 0 au point E où la droite OY' rencontre l’hyperbole conjuguée. L’équation des asymptotes deviendra par la même raison

ou y'

On en conclut que les diagonales du parallélogramme FHGK construit sur deux diamètres conjugués quelconques coïncident avec les asymptotes de l’hyperbole.

On peut vérifier directement, comme au n® 181, que les b'

droites y'=±—^x' sont les asymptotes.

Les côtés FH, GK du parallélogramme sont tangents à la première hyperbobe, et les côtés FK, et GH à l’hyperbole conjuguée, de sorte que le parallélogramme est circonscrit au système des deux courbes.

19»— Si l’on appelle a et p les angles que font avec l’axe tranverse OX les deux demi-diamètres conjugués OD, OE, a' et V leurs longueurs, on a entre ces quatre quantités variables les trois relations

a'® cos a-

a'*sina’

ô'^cos^i

ô'*sin’fi

cos a cos|3

sinasinfi

les deux premières se déduisent des équations des deux hyperboles conjuguées en coordonnées polaires, la troisième exprime que les deux diamètres sont conjugués.

Ces relations sont analogues à celles que nous avons trouvées pour l’ellipse (n“ i6i); on pourra leur faire subir les mêmes transformations. La troisième relation se mettra sous la forme

a'cosa a'sina ^ j [a! cosa\‘ /a'sina\*

a b \/[—r-)-[-b-) b' ^hi 'ji b' cosft / /b' sin Û\ * /6'costi\* ’

« Vl-F-j-i— j

en continuant de la même manière, on trouvera

a'* cos’ a — V*cos}^ = a\ a'* sin’ a — 6'* sin* p = — b*;

Ainsi la différence des carrés des projections de deux diamètres conjugués quelconques sur chacun des axes est constante.

En ajoutant ces deux relations membre à membre, on obtient

la différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la différence des carrés des axes. On trouve aussi la relation

a' 6' sin (p — a) = ab;

d’où l’on conclut que l’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à l’aire du rectangle des axes.

De la relation a'* — 6'* = a’ — 6*, il résulte que si a est différent de b, on ne peut avoir a'^b'; l’hyperbole n’a pas de diamètres conjugués égaux. Si, au contraire, l’hyperbole est équilatère, on a toujours a' = b'; tous les systèmes de diamètres conjugéssont égaux; ce qui s’accorde avec la remarque du n“ 191, puisqu’alors les deux diamètres font avec l’asymptote des angles égaux.

— L’hyperbole et ses deux asymptotes ayant le même diamètre pour une même série de cordes, le milieu I de la corde MM' est aussi le milieu de la corde NN' (flg. 108). Donc

Us portions MN, M'N' d’une sécante comprise entre l'hyperbole et ses asymptotes sont égales.

Si la sécante devient tangente, on a DF = DH; les portions d’une tangente comprises entre le point de contact et les asymptotes sont égales.

— Supposons l'hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués Diy, EE', dont l'un EE' est parallèle à une sécante donnée MN; la courbe aura pour équation

et les asymptotes 2/'*=,^, a/*.

Dans la ligure io8, la sécante MM' coupe la même branche en deux points, le diamètre parallèle EE' ne rencontre pas la courbe; on a

et, par suite.

NT— Ml* = 6‘, ou (NI — Ml)(i\lH-MI) = //'; mais NI — MI = MN et NI -t- Ml = MN';

donc MN X MN' = 6'*.

Lorsque la sécante coupe les deux brandies de l'hyperbole, le diamètre parallèle rencontre la courbe, et l’on arrive à uii résultat analogue. Ainsi le produit des segments d’une sécante, compris entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la sécante.

Ü9G — Connaissant les asymptotes RR', SS' et un point M de l'hyperbole, on peut obtenir autant de points de la courbe qu'on le veut (fig. log). Menons, en effet, par le point M une droite quelconque NMN'; cette droite coupe les asymptotes en N et N'; si l’on prend sur celte droite une longueur N'M' égale à NM, on aura un second point M' de l’hyperbole. On peut également déterminer les directions et les

grandeurs des axes. La courbe étant comprise dans les angles ROS, R' OS', la bissectrice OA de ces deux angles sera Taxe transverse, et la perpendiculaire OB l’axe imaginaire. Menons QMQ' perpendiculaire à OA, l’axe imaginaire b sera moyen proportionnel entre MQ et M(y. En portant sur OB une longueur OB égale à b, et en menant BC parallèle à OA, BC sera l’axe réel a.

On peut aussi construire la tangente en un point M' de la courbe. On mènera par ce point M'P parallèle à une asymptote, on prendra 0G = 20P; la droite M'G sera la tangente demandée.

M97 — Lorsqu’on connaît les positions et les grandeurs de deux diamètres conjugués, on obtient aisément les axes. Soient, en etfet, DIV, EE' (fig. I lo) les deux diamètres, dont le premier est réel; les diagonales du parallélogramme construit sur les deux Fig.no. diamètres sont les asymptotes; con-

naissant les asymptotes et un point D, on est ramené à la construction précédente.

flOS — Cordes supplémentaires. — On appelle cordes supplémentaires deux cordes MC, MC' ([ui, partant d’un même point de la courbe, aboutissent aux extrémités d’un même diamètre CC' (fig. ni). On démontrera comme nous l’avons fait au n“ i68, |)our l’ellipse, que deux cordes supplémentaires sont parallèles à un système de diamètres conjugués; et que, réciproquement, si par les extrémités d’un diamètre on mène des droites parallèles à deux diamètres conjugués, ces droites se coupent sur l’hyperbole et forment un système de cordes supplémentaires.