AIRE D CN SEGMENT HYPERBOLIQIE

900— Nous commencerons par établir le théorème qui serl ordinairement à l’évaluation des aires. Considérons Taire comprise entre Taxe OX, une courbe, une ordonnée fixe ABj et une ordonnée mobile MP (fig. ii3), correspondant à Tabscisse x; cette aire, que nous désignerone par S, est une fonction de la variable x. dont nous nous proposons de détcrminei la dérivée. Donnons à x un accroisse ment Ax = PF assez petit pour que de SI en M' l’ordonnée varie dans le même sens;

Fig. 113.

par les points SI et M' menons des parallèles MC, M’D à Taxe OX; l’accroissement AS de Taire est plus grand que le parallélogramme MPF C, et plus petit que le parallélogramme DPFM’: le premier parallélogramme a pour mesure ÿ. Ax.sinô, Ô étanl Tangle des axes, le second (ÿ-t- Ay) Ax.sinâ; on a donc y.Ax.sinO < AS < (y-l- Ay) Ax.sinÔ, et, en divisant par Ax,

Ay)sin9.

Supposons maintenant que Ton fasse tendre Ax vers zéro. Le AS

rapport est compris entre deux quantités, Tune ysin^),.

l’autre ayant pour limite cette quantité; donc le rapport a aussi pour limite y sin6. Ainsi la dérivée de Taire considérée comme une fonction de Tabscisse est y sin6. Réciproquement, Taire S est une fonction primitive de ysinO, considérée comme iint fonction de x.

Quand les axes des coordonnées sont rectangulaires, h dérivée de Taire est égale à y.

901 — Considérons une hyperbole rapportée à ses asymptotes, et proposons-nous d’évaluer Taire comprise entre Tasymptotc OX, l’hyperbole, l’ordonnée fixe AR correspondant à Tabscisse a, et l’ordonnée yariable MP correspondant à l’ab-

scissc X (ûg. ii4). De Téqualion (8) on déduit y-= — -> et, par

DE L'HYPERBOLE. I7T

suite, S' = wsinO = /*®sin0 X -•

Or - est la dérivée de Lar; donc

Ar’sinBx- est la dérivée de

A’^sinÔLa;; on a, par conséquent,

S = A'sinOLo'-i-C.

On délerinine la constante G par la condition que l’aire soit nulle pour x=a, ce qui donne

(lo) S = A’sinO(Lx — La) = A-sin6L

L’abscisse a restant constante, si l’on fait augmenter x indétiniment, l’aire S augmente aussi au delà de toute limite. La même chose a lieu quand on fait tendre a vers zéro, JT restant lixe.

Dans le cas particulier où l’hyperbole est équilalcre, on a sin9 = I ; si l’on suppose en outre k-=i, et que l’on compte l’aire depuis l’ordonnée qui répond à l’abscisse i, c'est-à-dire au sommet de la courbe, la formule précédente se réduit à

C’est à cause de cette propriété que l’on désigne aussi les logarillnnes népériens sous le nom de logarithmes hyperboliques. Si l’on suppose A = i et a = i, la formule (lo) devient S = sinOL(j;).

On pourra prendre 9 de manière que S soit le logarithme de x dans un système quelconque dont la base est plus grande que e.

EXERCICES

t° On donne deux points A et B, par ces deux points on mène deux droites mobiles AM et BM telles que l’angle MAB soit double de MBA ; irourer le lieu des points d’intersection M.

î* Quel est le lieu des centres des circonférences qui interceptent des longueurs données sur les côtés d'un angle donné?

Fig. 114.

C= — A*sin9La. On a ainsi

3° On donne deux droites fixes, une droite mobile coupe les deux premières de manière à former un triangle de grandeur constante; on demande le lieu des centres de gravité de ces triangles.

Les sécantes menées de l’un quelconque des points d’une hyperbole h deux points fixes pris sur la courbe interceptent sur l’une ou l’autre asymptote des longueurs constantes.

5“ Toute corde d’une hyperbole divise en deux parties égales la portion de Tune ou l'autre asymptote comprise entre les tangentes à ses deux extrémités.

6° Si, sur une corde d'une hyperbole considérée comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés soient parallèles respectivement aux asymptotes, l’autre diagonale passera par le centre.

'!> On donne un point fixe et une droite fixe ; un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé an point fixe ; trouver le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle formé par les côtés de l’angle et la droite fixe.

8° Un triangle ÂBC est inscrit dans une hyperbole; deux de ses côtés ont des directions invariables; trouver le lieu du milieu du troisième côté.

9“ Sur l’une des diagonales d’un rectangle prise pour corde on décrit un cercle ; trouver le lieu des extrémités des diamètres parallèles à la seconde diagonale.

10» Étant donnés un angle et un point fixe, par ce point on mène une sécante quelconque, et par les points où cette sécante rencontre les deux côtés de l’angle, on mène des droites respectivement parallèles à ces côtés; trouver le lieu du point d’intersection de ces parallèles.

11» Trouver le lieu d’un point tel, qu’en menant par ce point des parallèles aux asymptotes d’une hyperbole, l’aire du triangle formé par ces parallèles et l'hyperbole soit égale à une constante donnée.

12» Trouver le lieu d’un point tel que l’une des bissectrices des angles formés par les droites qui joignent ce point è deux points fixes A et B ait une direction donnée.

13» Toute hyperbole équilalère circonscrite à on triangle passe par le point de rencontre des hauteurs.

14» Étant donnée une ellipse, on mène deux diamètres conjugués quelconques; trouver le lieu du point d’intersection de l’un deux et d’une droite menée par un point fixe perpendiculaircmeut à l’autre.