MF* A' F
Les carrés des ordonnées perpendiculaires à l’axe de la parabole sont proportionnels aux segments de l’axe compris entre le sommet et les ordonnées.
*05 — Par le point M de la courbe menons une parallèle à l’axe, et imaginons qu’un point mobile parcoure cette parallèle. Si dans la fonction
y' — 2px
on remplace x et y par les coordonnées du point mobile, cette fonction se réduira à zéro lorsque le mobile sera en M, elle aura une valeur positive pour une position du mobile extérieure à la courbe et une valeur négative pour une position intérieure.
*06— Nous avons vu que les branches infinies de l’hyperbole ont des asymptotes; il n’en est pas de même de la parabole. Et, d’abord, puisque y augmente indéfiniment avec x, il n’y a pas d’asymptote parallèle à l’axe de la parabole. En second lieu, soit y^ = ax-i-b l’équation d’une droite quelconque oblique à l’axe, la différence des ordonnées des points de la droite et de la courbe qui correspondent à une même abscisse est égale à
ax-hb — \J2px et peut se mettre sous la forme
Quand x augmente indéfiniment, le premier facteur augmentant indéfiniment, et le second tendant vers la valeur a différente de zéro, le produit augmente indéfiniment. Donc il n’y a pas non plus d’asymptote oblique à l’axe.
TANGENTE
*07 — La tangente au point M, dont les coordonnées sont x
et y, a pour équation
Soit T le point où la tangente rencontre l’axe de la parabole
(fig. 116); si dans l’équation (2) on fait Y=o, on trouve X=—ar; donc AT = AP. Ceci donne un moyen facile de construire la tangente à la ^ parabole en un point donné M; on abaissera la perpendiculaire MP sur Taxe, on prendra AT = AP et l’on joindra les points M et T.
SOS — Mener une tangente par un point extérieur M,. — Soient x, et y, les coordonnées du point M, ; les points de contact seront déterminés par l’équation de la corde des contacts
jointe à celle de la courbe (i). On en déduit
y = y,±\jy\ — 2px^,
ces valeurs sont réelles toutes les fois que le point M, est extérieur à la courbe.
Pour construire la droite MM', on cherche les points où elle coupe les axes des coordonnées; si, dans l’équation (3), on fait y = o, on trouve x = — x,, c’est-à-dire que Al est égal à
AP,; si l’on fait a? = o, on trouve ?/=— ;
on obtiendra le
point K par une quatrième proportionnelle.
909— Tangente parallèle à une droite donnée. — Si l’on désigne par m le coefficient angulaire de la droite donnée.
l’équation ^ = tn, jointe à celle de la courbe, détermine les coordonnées du point de contact y = ^, x = -^- On en dé-
duit l’équation de la tangente
(4) Y = mX -h —• 2 m
210 — Normale. — La normale MN en un point M de la parabole, dont les coordonnées sont xely, a. pour équation
En y faisant Y = o, on obtient l’abscisse du point N où elle rencontre l’axe; on trouve
PN = X — x = p.
Ainsi, dans la parabole, la sous-normale PN est conslanle el égale au paramètre p.
DIAMETRES.
211 — En appliquant l’équation générale des diamètres des courbes du second degré à la parabole dont l’équation est y* — 2px = O, on obtient l’équation
(6) my — p = o,
ou
On retrouve cette propriété déjà démontrée au n° i32, savoir que tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l’axe. Comme on peut prendre le coefficient angulaire m des
cordes de manière que ait telle valeur que l’on voudra,
il en résulte que, réciproquement, toute parallèle à l'axe est un diamètre.
Soit A' le point de rencontre du diamètre et de la courbe (fig. 117); l’ordon-
née du point A' étant égalé a ^ et le coefficient angulaire de la tangente en ce point
ayant pour valeur c’est-à-dire m, on en
Fig. 117.
conclut que la tangente à l’extrémité d’un diamètre est parallèle aux cordes qiie ce diamètre divise en deux parties égales.
2W2— Parabole rapportée à un de ses diamètres et à la tangente à son extrémité. — Nous avons vu (n° iSg) que, lorsqu’on prend pour axes des coordonnées un diamètre A'X'et
la tangente A' Y' à son extrémité, l’équation ae parabole prend la forme
* (7) y*=2par.
Si l’on appelle o et 6 les coordonnées du point A! par rapport aux axes primitifs, et que l’on mène AP' parallèle à A' T, on sait que l’on a A'P' = AT = AP ; les coordonnées du sommet A par rapport aux nouveaux axes sont donc a et — V4a’-t-6*; comme elles doivent vérifier l’équation (7), on en déduit
4a’-(- b' 4a‘-l- 2pa
^ P y» yi
On a aussi
AT
AT’
2 AT
TP
Si l’on désigne par 0 l’angle Y' A'X' des nouveaux axes, dans les triangles rectangles NA' T, NA' P, on a
d’où
