PN

siu9’

p' = TN =

PN P sin*6 sin*0

313 — La parabole, rapportée à un diamètre A'X et à la tangente A' Y (fig. 118), ayant pour équation y’=2p'a:, il est évident que l’équation ÿY=p'(X + x) représentera, soit la tangente au point M, si a: et y désignent les coordonnées de ce point, soit la corde des contacts des tangentes issues d’un point extérieur, si æ et y désignent les coordonnées de ce point extérieur.

Les tangentes aux deux extrémités M et M' d’une corde coupent le diamètre en un même point T, tel que A'T = A'I. Il en résulte que la droite des contacts MM', relative à un point extérieur T, est divisée en deux parties égales par le diamètre TX qui passe en ce point, et que, de plus, on a A'I = A' T.

Ceci donne le moyen de construire une parabole par points,

lorsqu’on connaît deux tangentes TM, TM^ et les points de contact M et M'. On mène la corde MM', on joint le milieu I au point T, le milieu A' de la droite TI est un point de la courbe, et la tangente en ce point est parallèle à MM'. A l’aide de la tangente A' T', qui touche la courbe en A', et de chacune des tangentes données, on déterminera deux nouvelles tangentes avec leurs points de contact; et ainsi de suite. Cette méthode est fréquemment employée pour raccorder deux droites par un arc de parabole, lorsqu’on ne peut se servir d’un arc de cercle, c’est-à-dire lorsque les distances TM et TM' ne sont pas égales.

AIRE d’cN segment PAR.\B0LTQUE.

314 — Proposons-nous d’évaluer l’aire S du triangle mixtiligne A'IM ilig. ii8). Si l’on considère celle aire comme une fonction de l’abscisse du point M, la dérivée S' est donnée par la formule

S' = ÿsinO = V3pa:.sinO = V2p.sinfJ.a; .

On en déduit

S = ^ \'2p.sin6. jr -i-C.

La constante C est nulle puisque l’aire se réduit à zéro pour ,T = 0. On a ainsi

S = i^xyj-ipxsind— ^ xÿsinO.

L’aire S est égale aux deux tiers du parallélogramme A'IMN; et, par suite, l’aire du triangle mixtiligne A'NM est le tiers du même parallélogramme.

EXERCICES

i” Lieu du sommet d’un ongle circonscril à la parabole, et tel que le triangle formé par les côtés de l'angle et l’arc de parabole ait une aire constante.

2“ Lieu des points desquels on peut mener à une parabole deux normales rectangulaires.

3“ Une sécante tourne autour d’un point fixe pris sur l’axe d’une para-

bole; par les points où elle coupe la parabole on mène des normales; trouver le lieu du point de concours de ces normales.

Une parabole se meut parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole dans sa position initiale; du sommet de la parabole fixe on mène des tangentes à la parabole mobile; trouver le lieti des points de contact.

5° Lieu du point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point ù une parabole donnée soit constante.

6° Étant donnée une courbe du second degré inscrite dans un angle, on mène une tangente quelconque à celte courbe; trouver le lieu du point de concours des médianes ou des hauteurs du triangle Formé par la tangente mobile et les côtés du triangle; trouver aussi le lieu du centre du cercle circonscrit au même triangle.

7* Étant donnée une ellipse, par un point fixe on mène deux droites rectangulaires quelconques, et aux points où ces droites rencontrent l’ellipse on mène des tangentes à cette ellipse ; trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.

8o Même problème, quand on remplace les droites rectangulaires par des droites parallèles à deux diamètres conjugués d’une autre ellipse donnée.

9" Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé snrnne courbe du second degré donnée; aux points où les côtés de l’angle rencontrent la courbe on mène des tangentes ù cette courbe. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.

10* Trouver le lieu du centre d’un triangle équilatéral formé par trois tangentes ou par trois normales ù une parabole.

H* L’aire d’un triangle qui a pour sommets les points de contact de trois tangentes à une parabole est le double de l'aire du triangle formé par ces

tangentes et a pour expression ± — iy' — y"){y'' — y'") [y'" — y') >

désignant par y', y'\ y'" les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur l’axe.

On mène une tangente quelconque ù une hyperbole, on joint les points où elle coupe les asymptotes respectives à deux points fixes; trouver le lieu du point de concours des deux droites.

13* Mener à une parabole une normale telle que l’aire comprise entre cette normale et la courbe ait une valeur minimum.