CHAPITRE VIL

Feyer* et dlrectrlcea.

21& — Proposons-nous d’abord la question suivante : Étant donnes un point F et une droite DE (fig. 119), trouver le lieu du point dont les distances au point et à la droite donnés sont entre elles dans un

rapport constant.

^ Traçons dans le plan des axes rec-

tangulaires quelconques; appelons a et / \ P les coordonnées du point F, et soit

I mx + ny H- A = 0 l’équation de la droite 1 DE; les distances d’un point quelconque Fig. 119. M du lieu au point F et |à la droite DE sont données par les formules

vm’-l-n*

MF = \J{x — a)* H- (y — fi)*, MP —

si l’on désigne par k le rapport constant jjpi le lieu aura pour équation

Ce lieu est une courbe du second degré. La quantité B’ — 4 AC, qui sert à distinguer l’espèce de la courbe, étant égale à 4 (A’ — 1), la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le rapport k est inférieur, égal, ou supérieur à l’unité.

*16 — Réciproquement, étant donnée une courbe du second degré, nous nous proposerons de chercher s’il existe dans le plan de la courbe un point flxe F et une droite fixe DE tels que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. Si l’on trouve

FOYERS ET DIRECTRICES

a point et une droite jouissant de cette propriété, le point appellera foyer de la courbe, et la droite directrice.

On peut énoncer la question d’une autre manière : les axes coordonnées étant quelconques et faisant entre eux un Dg-le 6, supposons qu’on ait trouvé un point F ayant pour IM>rdonnées a et p et une droite DE ayant pour équation

ha: -hny ~^h = o, tels que le rapport ^ soit égal à une

{uantité constante k; la distance MP d’un point M de la courbe

V>nt les coordonnées sont x et y à la directrice DE ayant pour

^ . ±(mx-hny-hh)s\n^

txpression ' on aura

„ — 2fnncos0

( k {mx -h ny h) sin^

V»n’ + n’ — umn cos6

Ainsi la distance d’un point quelconque M de la courbe au foyer F s’exprime paT une fonction entière et du premier degré des coordonnées a; et y du point M.

Inversement, si un point fixe F jouit de cette propriété que • sa distance à un point quelconque M de la courbe s’exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées J et y du point M, ce point F est un foyer, c’est-à-dire qu’il existe une droite DE, telle que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. En effet, supposons que l’on ait

FM =± (mx -t- ny 4- h),

en désignant par mx-+-ny-t-A une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M. Considérons la droite DE qui a pour équation

mx -4- ny -f- A = O ;

la distance du point M à cette droite est donnée par la formule

on a donc

±(mx4-ny-|-A)sin9^ Vm*4-n* — amneosO

MF — amneosO

MP ~ siu6

Ainsi le rapport des distances de chacun des points de la

courbe au point fixe F et à la droite fixe DE est constant; le point F est donc un foyer de la courbe, et la droite DE la directrice correspondante. En désignant par k la valeur du rapport constant, on a AsinO = — amn cosô.

Voilà pourquoi on définit souvent le foyer d’une courbe du second degré un point fixe F, tel que sa distance à un point quelconque M de la courbe s’exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées du point M. On obtient l’équation de la directrice en égalant celte fonction à zéro.

Il est évident à priori que cette propriété algébrique du foyer est indépendante de la position des axes des coordonnées dans le plan; car une fonction entière et du premier degré conserve ce même caractère quand on change les axes des coordonnées.

Si l’on prend l’axe des y parallèle à la directrice, l’axe des or étant quelconque, l’équation de la directrice devant se réduire à la forme mx -+-h = o,le coefficient n sera nul et la distance du foyer à un point quelconque M de la courbe s’exprimera par une fonction entière et du premier degré ±{mx-i-h) de l’abscisse x du point M.

On voit par là que la recherche du foyer et de la directrice dans les courbes du second degré revient à la délerminalioii d’un point F, tel que sa distance à un point quelconque M de la courbe s’exprime par une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M. Supposons les axes rectangulaires, et soit

(i) Ax*-t-Ra;y-i-C2/*-f-Da;-f-E2/-t-F = o

l’équation d’une courbe du second degré donnée. Appelons a et P les coordonnées du foyer cherché, les coordonnées de chacun des points de la courbe devront vérifier l’équation

V(a: — a)* -|- (y — f4)*=± {mx -t- ny + h), ou (2) [x — a)*-f-(ÿ — (ma;-t-ny H- A)’=o.

Les équations (i) et (2), représentant toutes les deux la même courbe, sont identiques, c’est-à-dire que les coefficients des termes correspondants doivent être proportionnels; on aura

FOYERS ET DIRECTRICES. 189

donc pour déterminer les cinq inconnues a, m, n, h, les cinq équations

— m* — 9.mn i — n’ — 9(a.-\-mh) -9{^-hnh) — A*

~Â~~ W~~~ir~ D “ Ë “ F

Afin de faciliter le calcul, nous considérons séparément les trois courbes du second degré rapportées aux systèmes d’axes rectangulaires qui ont servi à simplifier leurs équations.

FOYERS ET DIRECTRICES DE l’eLLIPSE.

*17— Soit

l’équation d’une ellipse donnée rapportée à ses axes. Celte équation ne contenant pas de terme en xy, il faut que le coefficient — 9tnn de ce terme dans l’équation (a) soit nul, ce qui exige que l’on ait, soit n = o, soit m = o. Supposons d’abord n = o; les coefficients des termes du premier degré devant être aussi nuis, on aura, a -t- mh = o, ^ = o, et les équations (3) se réduiront à

On en déduit «i^ = — ; comme on peut toujours supposer

m positif, sans quoi on changerait les signes des coefficients m, n, h dans l’équation (a), on prendra m = - Si,

dans l’équation o* (i — m') = A’ — a’, on remplace A par sa valeur tirée de l’équation oL + mh — o, on trouve a*=a*— A*, d’où a=±\/®* — A=qza.

On obtient ainsi deux foyers F et F' (fig. lao) situés sur le

grand axe et à égale distance de part et d’autre du centre. Pour les construire, du sommet B*du petit axe comme centre, avec un rayon égal à a, on décrira un cercle; les points F et F' où ce cercle

coupe le grand axe, sont les foyers. Si, pour abréger, on pose a* — 6* = c*, ona a=zhc, a; les signes supé-

rieurs se rapportent au foyer F, les signes inférieurs au foyer F'. On sait que Ton a l’équation de la directrice en égalant à zéro le polynôme mx-\-ny-\rh; celte équation se réduit à

-xzpa = o, ou Æ=±— • On obtient ainsi deux directrices;

au foyer F correspond la directrice DE qui a pour équation a’

x = au foyer F' la directrice D'E' qui a pour équation

x= Ces directrices sont perpendiculaires au grand axe

et à égale distance du centre; la délertnination du point D revient à une troisième proportionnelle; on la construit de la manière suivante : sur le grand axe comme diamètre décrivons un cercle, par le foyer F élevons une perpendiculaire à cet axe, et au point N où la perpendiculaire coupe le cercle, menons une tangente au cercle; le point où celte tangente rencontre le grand axe est le point D.

Nous avons vu aussi que le rapport constant des distances de chacun des points de la courbe au foyer et à la directrice correspondante est égal à \/m* n* en coordonnées reclangu-

laires; on adonc k — m =-• Le rapport - est ce qu’on appelle excentricité de l’ellipse.

*18— Supposons maintenant m = o; les coefficients des termes du premier degré devant être nuis, on aura a = o, ^-\-nh = O, et les équations (3) se réduisent à

On en déduit

^=±\jb* — a% /t==pô.

Pour obtenir ces nouvelles solutions, il suffit de permuter dans les premières les lettres a et 6, m et n, a et p. Comme nous avons supposé a plus grand que b, ces deux solutions sont

FOYERS ET DIRECTRICES

imaginaires. Ainsi on peut attribuer aux constantes quatre systèmes de valeurs qui rendent identiques les équations (2} et (4); mais il n’y a que deux de ces systèmes qui donnent des foyers et des directrices réels.

TUÈORÈHE I.

ÜIO — La somme des distances de chacun des points de

Vellipse aux deux foyers est constante.

La distance d’un foyer à un point quelconque M de la courbe

(ccc \

— aj-

Le signe — dans la parenthèse se rapporte au foyer F, le signe -t- au foyer F'; on choisira le signe placé en avant de la parenthèse de manière à avoir une quantité positive.

Dans l’ellipse, le rapport - étant moindre que l’unité et

coc

l’abscisse x moindre que a en valeur absolue, le terme —

est plus petit que a en valeur absolue, et, par conséquent, la parenthèse a le signe du second terme. On prendra devant la parenthèse le signe — pour le foyer F et le signe ■+■ pour le foyer F'; on a ainsi

„„ ex , ex

d’où l’on déduit

MF -h MF' = 20.

920 — Corollaire I. La somme des distances d’un point intérieur à l’ellipse aux deux foyers est plus petite que le grand axe; la somme des distances d’un point extérieur est plus grande que le grand axe.

Considérons d’abord un point N (fig. 121) situé à l’intérieur

Fig. 121.

de l’ellipse. Joignons ce point aux deux foyers et prolongeons la droite F' N jusqu’à sa rencontre avec l’ellipse en M. Le point M appartenant à l’ellipse, la somme des deux rayons vecteurs MF H- MF' est égale au grand axe AA';

mais la ligne droite NF est plus petite que la ligne brisée

NM + MF; en ajoutant de part et d’autre la même loagne'or F'N, on voit que le chemin F'Nh-NF est plus petit que F'M+MF' c’est-à-dire plus petit que AA'.

Considérons maintenant un point P situé hors de l’ellipse la droite PF' rencontre l’ellipse en un point M. La ligne brisé< MP -h PF est plus grande que la ligne droite MF; en ajoutan départ et d’autre la même longueur F'M, on voit que le chemii F' P -t- PF est plus grand que F'M -f- MF, c’est-à-dire plus grand que AA'.

11 est clair que les réciproques sont vraies. Si la somme des distances d’un point du plan aux deux foyers est plus petite que le grand axe, ce point est intérieur à l’ellipse. Si la somme est plus grande que le grand axe, le point est extérieur.

Il résulte de là que l’on peut considérer l’ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers est égale à 2a. C’est ainsi qu’on définit l’ellipse en Géométrie élémentaire, et c’est sur celte propriété que repose la construction de l’ellipse par points, ou d’un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (11"* 12 et i3).

231 — C0ROLL.41RE II. L’ellipse est le lieu des points également distants d'un foyer F et du cercle décrit de l’autre foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe. Si l’on joint

les foyers à un point quelconque M de l’ellipse, et si l’on prolonge le rayon vecteur F'M d’une longueur MH égale à MF, on ohlient une longueur F' H constante et égale au grand axe; le lieu du point H est donc la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec le grand axe pour rayon. La portion MH du ï"'®- i2i>. rayon étant le plus court

chemin du point M à cette circonférence, on voit que le point

FOYERS ET DIRECTRICES. 193

M de Tellipse est également distant du foyer F et de la circonférence. On a donné à ce cercle le nom de cercle directeur.

THEOREUE II.

222 — La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs, qui vont du point de contact aux deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' (fig. i23) sur Tellipse; du foyer F comme centre, avec FM' pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM, la lonj gueur MC représente la différence des deux rayons vecteurs FM et FM', ou la diminution qu’éprouve le rayon vecteur FM quand on passe du point M au point voisin M'. De même, si du foyer F' comme centre, avecF'M' pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecteur F' M prolongé, la longueur MD représentera la différence des deux rayons vecteurs F'M et F'M', ou l’accroissement qu’éprouve le rayon vecteur F'M quand on passe du point M au point M'. Ainsi, quand on passe du point M au point M', le rayon vecteur FM éprouve une diminution MC, tandis que l’autre rayon vecteur F'M éprouve un accroissement MD. Puisque lu somme des deux rayons vecteurs FM -f- F'M reste constante, l’augmentation de l’un est égale à la diminution de l’autre, et, par conséquent, tes deux longueurs MC et MD sont égales.

Par les deux points M et M' menons la sécante MS; dans les deux cercles considérés précédemment, traçons les cordes M'C etM'D. Sur la sécante MS portons une longueur MG, arbitraire, mais invariable, et par le point G menons GH parallèle à M'C, GK parallèle à M'D; à cause des parallèles, on a les rapports