MM' MG

MK’

puisque les deux longueurs MC et MD sont égales, il en résulte que les deux longueurs MH et MK sont aussi égales.

BR. t3

Supposons maintenant que le point SP se rapproche indéflinent du point M; la sécante MS tend vers une position limite MT (fig. 124), qui est la tangente à Tellipse. En même temps,, les points C et D se rapprochent du point M, les cordes M'C et M'D, prolongées, tendent vers les tangentes aux cercles décrits des points F et F' comme centres avec FM et F'M pour rayons et, par conséquent, deviennent perpendiculaires aux rayons FM et F'M; leurs parallèles GH et GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et, par conséquent, les angles H et K deviennent droits.

Les limites des deux triangles MGH, MGK (fig. i23) sont deux triangles rectangles MGII, MGK (fig. 124); ces deux triangles,

ayant l’hypoténuse MG commune et les côtés MH et MK égaux entre eux comme limites de longueurs égales, sont égaux ; d’où l’on conclut l’égalité des deux angles GMH, GMK. Il en résulte que la tangente MT à l’ellipse divise en deux parties égales l’angle FMK formé par l’un des rayons vecteurs MF et le prolongement de l’autre F'M.

L’angle F'MT' étant égal à son opposé par le sommet GMK, on voit que la tangente TT' fait, avec les deux rayons vecteurs (]ui vont au point de contact, des angles égaux FMT, F'MT'.

223 — CoROLLAiKE I. Menons au point M (fig. i25) une perpendiculaire MN à la tangente TT', nous aurons la normale à l’ellipse. Les deux angles FMN, F'MN sont égaux comme complémentaires des angles égaux FMT, F'MT'; ainsi la normale à l'ellipse au point M est bissectrice de l'angle FMF' des Fig. 1S5. rayons vecteurs qui vont de ce point aux deux foyers.

224 — Corollaire IL Supposons qu’une lumière soit placée au foyer F (fig. 126) d’une ellipse; les rayons lumineux, partant du point F, se réfléchissent sur l’ellipse en faisant un

FOYERS ET DIRECTRICES, anjjle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Soit FM l’un de

ces rayons ; menons la tangente TT' à l’ellipse en ce point; le rayon réfléchi, devant faire avec MT' un angle égal à FMT, sera dirigé suivant MF'. Ainsi les rayons réfléchis viennent tous concou- Fig. 126. rir au second foyer F' où ils forment

une image très-brillante de la flamme placée au premier foyer F. C’est de là que vient la dénomination de foyer.

22^ — CoROLL.MRE III. Réciproquement, l’ellipse Gst la seule courbe qui jouisse de la propriété que sa tangente fasse extérieurement des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont «lu point de contact à deux points fixes F et F'. Cherchons, en effet, l’équation de la courbe en coordonnées bi-polaires, et désignons par ii et v les deux rayons vecteurs MF, MF' (fig. i23). Uuand on passe d’un point M de la courbe au point voisin M', les deux rayons vecteurs m et v éprouvent des variations

et l’on a

\ U — — MC, A V — — j— MD, Am ~ MC “ MH’

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite MM' devient tangente et les deux angles H et K, comme nous l’avons dit, deviennent droits. Nous supposons d’ailleurs les deux angles GMII, GMK (fig. 124) égaux entre eux; les deux triangles rectangles GMH, GMK sont donc égaux, et l’on a A i?

MII = MK; le rapport — tend vers une limite égale à — i.

Si l’on considère v comme une fonction de m, on voit que la dérivée de cette fonction est égale à — i; en remontant à la fonction primitive, on a e = — tt-i-C; et, par suite, u-t-r=C. bonc la courbe est une ellipse.

220— Corollaire IV. £e lieu des projections des foyers sur les tangentes à l’ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. Prolongeons le rayon vecteur F'M d’une longueur MH égale à MF; la tangente divisant en deux parties égales l’angle F.MH, est perpendiculaire sur le milieu I

de la droite FH (fig. 127); joignons ce point au centre O l’ellipse. La droite 01, qui divise en deux parties égales i .,11 côtés F'F, FH du triangle F'FH, < parallèle au troisième côté F' H, et est la moitié; la longueur F'H éta V égale au grand axe AA', la distance est constante et égale à OA. Donc lieu du point I est la circonférence 1 cercle décri le du point 0 comme ce i"*»- tre, avec OA pour rayon.

PROBLÈME I

927 — Mener une tangente à l'ellipse en un point M dont sur l’ellipse.

Nous avons déjà résolu ce problème, ainsi que les suivant eu considérant l’ellipse comme la projection d’un cercle. Noi traiterons les mêmes questions par une autre méthode qi pourra être appliquée à l’hy[)erbole et à la parabole.

Prolongeons le rayon vecteur F'M (Og. 128) d’une longueu MH égale à l’autre rayon vecteur MF, et jiar le point M raenon une droite TT' perpendiculaire à FH; nous aurons la tangent demandée. Car, dans le triangle isocèle FMIl, la droite MT. pet pendiculaire abaissée du sommet sur 1 base FH, divise l’angle au sommet e:

deux parties égales. Cette droite, état bissectrice de l’angle FMH formé par l’u des rayons vecteurs et le prolongernec de l'autre, co'incide avec la tangente Fig n’a l’ellipse.

838— Remarque. 11 est bon d’observer que tous les point de la tengente, excepté le point de contact M, sont situé hors de l’ellipse. Soit P un point quelconque de la tangente joignons ce point aux deux foyers et au point H. La tangente étant i)erpendieulaire sur le milieu de FH, la distance PF égal PH et, par conséquent, la ligne brisée F'P-f-PF égale la ligni brisée F'P + PH; mais celle dernière est plus grande quel ligne droite F'H qui est égale au grand axe de l’ellipse, puis

FOYERS ET DIRECTRICES. 107

u’on a prolongé le rayon vecteur F'M d’une longueur MH gale à MF. La somme des distances du point P aux deux foyers tant plus grande que le grand axe, ce point est situé hors de 'ellipse.

La ligne brisée F'M -(-MF est le plus cotirt chemin allant du wint F' au point F en passant par un point de la tangente.

On dit qu’une ligne brisée est convexe, lorsqu’elle est située Æul entière d’un même côté par rapport à chacun de ses côfés ndéfiniment prolongés. De même, on dit qu’une courbe est convexe lorsqu’elle est située tout entière d’un même côté par rapport à chacune de ses tangentes indéfiniment prolongées. 11 résulte de ce qui précède que l’ellipse est une courbe termée convexe.

PROBLÈ.UE U.

Î29— J/encr une tangente à l’ellipse par un point extén'eur P.

Supposons le problème résolu, et soit PM (fig. 129) une tangente passant par le point P. Si l’on prolonge le rayon vecteur .» F'M d’une longueur MU égale à

FM, on sait que la tangenle PM est perpendiculaire sur le milieu '■ (le la droite FH ; la question revient donc à déterminer le point H. Puisque la droite F^H est égale au grand axe AA', le point II est situé sur la circonférence décrite tin foyer F' comme centre avec AA' pour rayon. D’autre part, la distance PH étant égale à PF, le point II est sur la circonfévence décrite du point P comme centre avec PF pour rayon; le point H est donc à l’intersection de ces deux circonférences, '•n déduit de là la construction suivante :

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand a«, décrivons un cercle. Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point à l’autre foyer, décrivons un second cercle, qui coupera le premier au point H. laignons FII, et du point P menons une perpendiculaire à la

Fig. liO.

droite Fîl, nous aurons la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’intersection de la tangente avecla droite F' H.

Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant de même du point P une perpendiculaire à FH', on aura une seconde tangente PM', dont on déterminera le point de contact M' à l’aide de la droite F' H'.

Il est à remarquer que ces constructions peuvent être effectuées sans que l’ellipse soit tracée. 11 suffit que l’on connaisse tes foyers et le grand axe.

PROBLEME III

1830— -Vener à l’ellipse une tangente parallèle à une droite donnée KL.

Supposons le problème résolu, et soit ST une tangente parallèle à KL (fig. i3o). Si l’on prolonge F'M d’une longueur MH c égale à MF, on sait que la tangente

est perpendiculaire sur le milieu de FH. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivons un cercle; par l’autre foyer F menons une droite FH perpendiculaire à la droite donnée KL; cette droite coupera la circonférence en un point H ; sur le milieu de FH, élevons une perpendiculaire ST, nous aurons la tangente demandée. Le point de contact sera déterminé par l’intersection de la tangente'avec la droite F'H.

La droite FH prolongée rencontre la circonférence en un second point H'; en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FH', on obtiendra une seconde tangente S' T', dont on déterminera le point de contact M' par ta droite F'H'.

Fig. ino.

PROBLÈME IV

831 — t'ne ellipse étant définie par ses foyers et son grand

FOYERS ET DIRECTRICES

axe, déterminer les points où elle est coupée par une droite donnée MM',

Soit M l’un des points où la droite donnée coupe l’ellipse (üg. i3i) ; joignons ce point aux deux foyers et prolongeons le rayon vecteur F'M d’une longueur MH égale à MF; le point H

appartient au cercle directeur décrit du foyer F' comme centre; si du point M comme centre, avec un rayon égal à MF, on décrit un cercle, ce cercle sera tangent en H au cercle directeur; en abaissant du foyer F une perpendiculaire sur la droite donnée et prolongeant cette perpendiculaire d’une longueur égale à elle-même, on obtient un second point F, appartenant à ce même cercle. La question revient donc à trouver le centre M d’un cercle passant par les deux points donnés F et F, et tangent au cercle directeur. Pour cela, par les deux points F et F, on fait passer un cercle quelconque qui coupe le cercle directeur en deux points K et K'; du point 1, intersection des deux droites FF, et KK', on mène une tangente III au cercle directeur; le point M, où la droite FH coupe la droite donnée, sera le point cherché.

On a, en effet.

:IKxIK' = lFxlF,;

donc le cercle qui passe par les trois points F, F,, II est tangent en H au cercle directeur. Comme on peut mener du point I deux tangentes au cercle directeur, on aura deux points M et M'.

Lorsque le point F„ symétrique du foyer F par rapport à la droite donnée, est situé à l’intérieur du cercle directeur, il y a effectivement deux solutions. Lorsque le point F, est situé suite cercle, la droite est tangente à l’ellipse. Enfin, quand le point F, est situé hors du cercle, la droite ne rencontre pas l’ellipse.

l’OYERS ET DIRECTRICES DE l’dYPERBOLE.

Soit

l’cqualion d’une hyperbole donnée rapportée à ses axes. Le calcul est le meme que pour l’ellipse; il suffit de remplacer &* par — b*. On a ainsi les deux solutions réelles

[i = o, a=±: m = n — o, h = zpa,

et les deux solutions imaginaires

x=zo, p=±V — a’ — b*, m = o, n=- — ^ h=z^bi.

Les deux premières solutions donnent deux foyers réels F

et F' situés sur l’axe transverse à égale distance du centre (flg. iSa).

On les obtient en menant par le sommet A une perpendiculaire AG à l’axe transverse jusqu’à l’asymptote, et prenant sur l’axe tranverse des longueurs OF et OF' égales à OG. Si, pour abréger, on pose a*-i-6* = c’, on a

Les directrices sont représentées par les équations

-xzca — o, ou a;=:± — a ^ ’ c

Au foyer F correspond la directrice DE, au foyer F' la directrice D'E'. Du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupe l’asymptote au point H, ce point appartient à la directrice. En effet, les deux triangles OAG, OHF, qui ont un angle commun 0, les côtés OA = OH et OF = OG, sont égaux, et l’angle OHF est droit ; si, du point H, n abaisse une perpendiculaire HD sur l’axe transverse OA, on

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FO\ERS ET DIRECTRICES

a OH*=OFxOD, et, par suite, OD = — • Ainsi la droite DH

est la directrice.

Le rapport constant k = Vm’ -+- n* est égal à m ou au rapport -» qu’on appelle excentricité de l’hyperbole.

THÉORÈME III

933 — La différence des distances de chacun des points de l’hyperbole aux deux foyers est constante et égale à l’axe tranverse.

La distance d’un foyer à un point quelconque M de la courbe

a pour expression ± aj ; le signe supérieur dans la parenthèse se rapporte au foyer F, le signe inférieur au foyer F'. Il faut, en avant de la parenthèse, choisir le signe de manière

à avoir des longueurs positives. Dans l’hyperbole, le rapport -

étant plus grand que l’unité et x plus grand que a en valeur

absolue, le premier terme ~ en valeur absolue est plus grand

que a. Il faudra donc faire précéder la parenthèse du signe -tou du signe — , suivant que le point 31 est sur la branche de droite ou sur celle de gauche. Dans le premier cas, on a

d’où

« »T^ CûC 111^/ C<2/

3IF = a, 3IF' = ha,

Dans le second cas, on a

d’où MF — 31F' = 20.

934— Corollaire. La différence des distances d’un point situé entre les deux branches de l’hyperbole aux deux foyers est plus petite que l’axe transverse; lorsque le point est situé dans les deux autres parties du plan, la différence est plus grande que l’axe transverse.

Soit P un point situé entre les deux branches de la courbe

(fig. i33); la droite PF rencontre l’hyperbole au point M. On î