I -+- ecosw

Supposons maintenant que la courbe soit une hyperbole.

Prenons pour pôle le foyer F' et pour axe polaire la direction F' A' de Faxe transverse (flg. iSy). Nous avons vu (n° 233) que la distance du foyer F' à un point quelconque de la courbe est exprimée par la formule

le signe

s’appliquant à la branche de gauche, le signe + à la branche de droite. Projetons sur l’axe transverse OX la ligne brisée OF'M, on a x= — c H- p Costa.

Il en résulte que la première branche de l’hyperbole est représentée par l’équation

la seconde par l’équation

1 — e Costa

Mais si l’on convient do porter les rayons vecteurs négatifs en sens contraire de la direction indiquée par l’angle ta, il est facile de voir que l’équation (i) représente à elle seule les deux branches de l’hyperbole. Soit M' un point quelconque de la seconde branche, ta' l’angle correspondant A'F'M', p' le rayon vecteur F'M'; en vertu de l’équation (2), on a

p' = ^ ecosli' l’équation (i), donnons à l’angle ta la

valeur ta' -+-7:, il viendra

I — e Costa'

on obtient ainsi pour p une valeur négative — p'; mais la valeur

FOYERS ET DIRECTRICES

(•y 4- t: attribuée à w, indique la direction F'M, opposée de F'M''. Si P avait une valeur positive, il faudrait la porter dans la direction F'M, ; P ayant une valeur négative — p', on convient de porter la valeur absolue p' en sens inverse, c’est-à-dire dans la direction F'M', ce qui donne le point M'. Il résulte de là que l’équation (i) suffit pour représenter les deux branches de l’hyperbole, la première par les valeurs positives de p, la seconde par les valeurs négatives.

Considérons enfin le cas où la courbe est une parabole.

Y Prenons encore pour pôle le foyer F et pour axe polaire la droite FA dirigée vers le sommet (fig. i58). On a (n® a43)

û=^-hX.

En projetant sur l’axe AX la ligne brisée AFM, on a comme précédemment

ic = ^ -H p cos (ir — “) = 2 — P cosw;

d’où l’on déduit

Il résulte de ce qui précède que l’équation (i) représente les trois courbes du second degré; la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que l’excentricité e est inférieure, égale ou supérieure à l’unité.

EXERCICES

1» M et M' étant deux points d’une parabole, P le point de concours des

tangentes en ces deux points et F le foyer, démontrer que l’on a