PM'^ M'F
2“ Dans une courbe du second degré, la perpendiculaire abaissée du foyer sur une corde et le diamètre conjugué de la corde se coupent sur la directrice.
3» Un demi-diamètre d’une ellipse ou d’une hyperbole est moyen proportionnel entre les droites qui joignent les foyers à l’extrémité du diamètre conjugué du premier.
4* Dans l'hyperbole équilatère la distance d’un point quelconque de la
courbe au centre est moyenne proportionnelle entre les distances de ce point aux foyers.
5° Trouver dans le plan d’une ellipse un cercle tel que la longueur de la tangente menée au cercle de chacun des points de l'ellipse soit une foiiclion rationnelle, entière et du premier degré des coordonnées de ce point.
Démontrer que la somme ou la dilTérence des tangentes menées de chacun des points de l’ellipse à deux cercles jouissant de la propriété précédente est constante.
6" l.ieu du sommet d’un angle constant circonscrit à une parabole.
7» Par le foyer d’une parabole on mène une corde, et sur la corde comme diamètre on décrit un cercle, puis on mène au cercle des tangentes parallèles à une droite donnée; trouver le lieu des points de contact.
8° Un angle constant tourne autour du foyer d'une courbe du second degré; aux points où les côtés de l'angle rencontrent la courbe, ou mène des tangentes à cette courbe ; trouver le lieu du point d’intersection de ces
tangentes.
9" Étant donnée une ellipse; en un point quelconque M, on mène la tangente que l’on prolonge jusqu’aux points P et Q, où elle rencontre les tangentes aux extrémités du grand axe; trouver le lieu du point de rencontre N des droites F' P et FQ, et du point de rencontre N' des droites FP et F'Q. Démontrer que les deux points N et N' sont situés sur la normale au point M.
1 0» Étant donnée une courbe du second degré, une séc.ante tourne autour d’un point fixe P ; on joint au foyer F les points M et M' où elle coupe
la courbe ; démontrer que le produit tang -
est constant.
11° L’angle sous lequel du foyer d'une courbe du second degré on voit la portion d’une tangente mobile comprise entre deux tangentes fixes est constant.
12° ün triangle étant circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice, et le cercle circonscrit au triangle passe par le foyer.
13° Si, en un point quelconque M d’une ellipse, on mène une normale, la portion de cette normale comprise entre le point M et le petit axe a pour projection sur les rayons vecteurs menés du point M aux deux foyers une longueur égale au demi grand axe.
14° La portion de la normale comprise entre le point M et le grand axe a pour projection sur les rayons vecteurs une longueur égale au paramètre de l’ellipse.
15° Deux courbes du second degré ont un foyer commun ; si l'on mène
FOYERS ET DIRECTRICES
de ce foyer des rayons vecteurs aux extrémités d'un diamètre quelconque de Fune des courbes ; la somme ou la différence des rapports de ces rayons aux rayons de la seconde courbe qui ont la même direction est constante.
i6* On prolonge les rayons vecteurs qui vont d'un point quelconque M de l'ellipse aux deux foyers F et F' jusqu'à leur rencontre en P et Q avec
