RECHERCHE DES SÉCANTES COMMUNES A DEUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

390 — Nous avons vu que deux courbes du second degré S = o, S, = o, ont, eu général, quatre poinls communs; par ces quatre poinls, on peut faire passer trois couples de droites. Lorsque les courbes sont réelles, les points communs sont réels ou imaginaires conjugués deux à deux. 11 y a trois cas à considérer : i“ si les quatre points communs a, b, c, d sont réels, les trois couples de sécantes communes sont évidemment réelles; 2" si deux points a et & sont réels, les deux antres c et d imaginaires conjugués, la droite ab est réelle, ainsi que la droite cd qui passe |)ar les deux points imaginaires conjugués; on a donc une couple de sécantes communes réelles ab et cd. Les quatre autres sécantes communes sont imaginaires; car, si la sécante ac, par exemple, était réelle, le point d’intersection c des droites réelles ac et rd serait réel; 3“ lorsque les deux points a et 6 sont imaginaires conjugués, ainsi que les poinls c et d, les droites ab et cd sont réelles, les quatre autres imaginaires. On conclut de là que deux courbes réelles du second degré admellenl au tnoins deux sécantes communes réelles.

Ou peut distinguer les deux derniers cas de la manière suivante : dans le troisième cas, les deux droites ac et bd, étant imaginaires conjuguées, se coupent en un point réel, de même les droites ad et bc; les centres des trois couples de sécantes communes sont donc réels. Hans le second cas, le point d’intersection des droites ac et bd est imaginaire; car, si ce point était réel, chacune des droites ac et bd passant par deux points réels (le point a ou b et ce point d’intersection) serait réelle; des trois centres, un seul est donc réel.

391 — Pour montrer une application de ce qui précède, considérons deux ellipses ayant un foyer commun. Ces deux ellipses ne peuvent se couper en plus de deux poinls réels; car, d’après ce que nous avons dit au 11" 260, deux ellipses qui

ont un foyer commun et trois points communs, coïncident; elles admettent donc seulement deux sécantes communes réelles.

Soient {x-a)'*-i-[y — b)' — k*y* = o,

les équations des deux ellipses; les deux sécantes communes réelles fty=±k'-f passent par le point d’intersection I des

directrices DI, M (fig.170), et il est facile de les déterminer géométriquement.

Supposons que les deux ellipses se coupent en deux points réels A et B; l’une des sécantes communes réelles est la droite AB qui passe par ces deux points; l’autre IL ne rencontre pas les courbes. Pour déterminer cette seconde droite, joignons le point A au foyer F et abaissons de ce point des perpendicu-

et.