F AF

laires AE, AE' sur les directrices, on a A = k' =

k AE

par suite, ^ Prolongeons la perpendiculaire AE d’une

longueur EH égale à elle-même; par le point H menons une parallèle HL à la première directrice, et par le point A une parallèle AL à la seconde directrice; le point d’intersection L de ces deux parallèles appartiendra à la seconde sécante commune réelle IL.

292 — La recherche des points d’intersection de deux courbes du second degré dépend en général de la résolution d’une équation du quatrième degré; mais on peut ramener la question à la résolution d’une équation du troisième degré. L’équation S — A'S, = o, dans laquelle le paramètre k est arbitraire, représentant toutes les lignes du second degré qui passent par les points communs aux deux premières, ou peut déterminer le paramètre k de manière que cette équation représente deux droites; les deux courbes adineltanl trois couples

THÉORÈMES SUR LES SECTIONS CONIQUES. 253 le sécantes communes, la valeur de k sera donnée par une .'quation du troisième degré.

Soient A a:*+B ajy-t-C y’-t-D a:4-E y-l-F =o,

A' Æ* + B' xy + C' y’ + ly X -h E' y -h F' = O,

les équations des deux courbes proposées. L’équation nouvelle sera

(A — kk!) X* -4- (B — AB') xy -t- . . . = o; pour abréger, nous la représenterons par

ax*+ hxy + cÿ’ -4- dx -t- «y + o.

Cette équation, résolue par rapport à y, devient

y — ± — V (6*— 4ac) x’ -4- 2 (6e — 2cd) x -f- (e* — ^cf)\

Pour que cette équation représente deux droites, réelles ou imaginaires, il est nécessaire que le polynôme placé sous le radical soit un carré parfait, ce qui exige que la condition

(be — 2cd)* — (6* — 4ac) (e* — 4c/‘) = o

soit remplie. Celte relation, après la suppression du facteur 4c, s’écrit

ae’-i-cd’ — 6de4-(6* — 4ac)/‘=o; »

si l’on remplace les lettres a, b,... par les valeurs A — kk', B — A B', . . . on arrive à une équation du troisième degré en k. Il suffira de calculer l’une des racines de cette équation avec une certaine approximation, pour avoir une couple de sécantes communes; cherchant ensuite les points d’intersection de chacune de ces droites et de l’une des courbes proposées, à l’aide d’une équation du second degré, on obtiendra les coordonnées des quatre points d’intersection. On pourrait aussi calculer deux racines de l’équation en k, afin d’avoir deux couples de droites dont on chercherait ensuite les points d’intersection.

293— Une racine réelle donnera deux droites réelles, si elle rend positive la quantité 6’ — 4ac. Il y a plusieurs cas à considérer : i" Si l’équation du troisième degré en A a ses trois racines réelles, et si deux racines rendent positive la

quantité ¥ — ^ac, ces deux racines donneront deux couples de droites réelles, d’où l’on déduira quatre solutions réelles j les deux courbes se coupant en quatre points réels et admettant trois couples de sécantes réelles, la troisième racine rendra aussi positive la quantité ¥ — 4oc. 2“ Si l’équation du troisième degré a ses trois racines réelles, et qu’une seule rende positive la quantité ¥ — i\ac, les deux courbes n’admettent qu’une couple de sécantes réelles. Les deux sécantes données par une valeur de k sont représentées par les équations

bx ~he \/¥ —

be —

¥ — 4ac/

leur point d’intersection a pour coordonnées

be — 2 c(i bx-he

puisque les trois valeurs de k sont réelles, les trois centres sont réels; on en conclut que les deux courbes se coupent en quatre points imaginaires. 3" Si l’équation du troisième degré n’a qu’une racine réelle, cette racine rendra nécessairement positive la quantité ¥ — 40c et donnera deux droites réelles; les deux racines imaginaires conjuguées donneront deux couples de droites imaginaires telles (jue les deux droites de l’un des systèmes seront respectivement conjuguées des droites de l’autre système ; des quatre points oii les droites de l’un des systèmes couperont celles de l’autre, deux seront réels; on en conclut que les deux courbes se coupent en deux points réels et en deux points imaginaires conjugués.

394 — Lorsque deux hyperboles ont une asymptote parallèle, l’un des points d’intersection s’éloigne à l'infini, et l’équation résultant de l’élimination de l’une des coordonnées entre les deux équations se réduit au troisième degré. Soient, par exemple, les deux hyperboles

xy — y’ — x — o, y’ — x’ — 1 = 0,

qui ont chacune une asymptote parallèle à la droite y = x; si, dans la seconde, on substitue la valeur de x, tirée do la première, on obtient l’équation du troisième degrcy^'— y-t-^ = o.

qui a une racine réelle et deux imaginaires. Les deux hyperboles ne se coupent qu’en un point réel; elles admettent deux sécantes communes réelles; l’une, passant par ce point et le point situé à l’infini, est parallèle à la droite y=X) l’autre passe par les deux points imaginaires conjugués.

295 — Supposons que, dans les deux équations, les coefficients des termes du second degré soient proportionnels, et rien n’empêche alors de les supposer égaux; si l’on retranche ces deux équations

A®*-l-Ba:y-|-C»/*-t-D x + Y.y + Y =o, Ax*-t-Rirÿ-t-Ci/’-+- D'ar-t-E'j/-f-F' = o,

membre à membre, on obtient l’équation du premier degré

(D — If ) Æ 4- (E — E') ÿ 4- F — F = O,

et l’élimination de y conduit à une équation du second degré en X. Les deux courbes ne se coupent plus qu’en deux points réels ou imaginaires conjugués; les deux autres points se sont éloignés à l’infini. L’une des sécantes communes réelles passe par les deux points d’intersection; l’autre s’est éloignée à l’infini. Cette circonstance se présente lorsque les courbes sont des hyperboles ayant leurs asymptotes respectivement parallèles; et en général, comme nous le verrons plus tard, lorsque les deux courbes sont semblables et semblablement placées.

296 — Dans certains cas, la recherche des points d’intersection de deux courbes du second degré se ramène à une équation du second degré ou à une équation bicarrée.

1® Lorsqu’un même diamètre divise en deux parties égales les cordes parallèles dans les deux courbes, si, par une transformation de coordonnées, on rapporte les courbes à ce diamètre commun pris pour axe des a: et à une parallèle aux cordes pour axe des y, les deux équations ne contiendront plus l’inconnue y qu’à la seconde puissance; l’élimination de ÿ* donnera une équation du second degré en x,

2° Si ces deux courbes sont des hyperboles ayant une asymptote commune, en les rapportant à celte asymptote prise pour

axe des a: et à une droite quelconque pour axe des y, on a des équations dans lesquelles le terme en xy contient seul la lettre a:; en éliminant ce terme, on obtient une équation du second degré en y.

3' Lorsque les deux courbes ont le même centre, si on les rapporte à ce centre commun pris pour origne des coordonnées, les deux équations ne contenant plus de termes du premier degré, l’élimination des y donnera une équation bicarrée en X.

297 — Un cercle coupe en quatre points réels ou imaginaires une courbe du second degré; soit

l’équation du cercle, a = o, et p = o celles d’une couple de sécantes communes réelles, l’équation de la courbe du second degré pourra toujours être mise sous la forme

{x — a)*4- (y — 6)*— r’ — ka.p = o.

Le premier membre représente le carré de la longueur de la tangente menée d’un point quelconque de la courbe au cercle ; il en résulte ce théorème : un cercle étant placé d'une manière quelconque dans le plan d’une courbe du second degré, la tangente menée de tout point de la courbe au cercle est à la moyenne proportionnelle entre les distances de ce point à deux sécantes communes réelles dans un rapport constant.

Supposons que le cercle soit tangent à la courbe en deux points réels ou imaginaires conjugués, la droite des contacts sera réelle, et l’équation de la courbe prendra la forme

Ainsi, lorsqu’un cercle est doublement tangent à une courbe du second degré, la tangente menée d’un point quelconque de la courbe au cercle est à la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant.

Le foyer d’une courbe du second degré peut être considéré comme un cercle d’un rayon nul ayant avec la courbe un double contact imaginaire; la directrice est la corde des contacts.

EXERCICES

4* Construire une courbe du second degré, connaissant la directrice et trois points.

2* Construire une parabole, connaissant le fover et denx points, ou un point et une tangente.

3° Construire une parabole, connaissant la directrice et deux points.

4° Construire une hyperbole, connaissant trois points et les directions des asymptotes.

5“ Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un sommet et un point.

6’ Trouver le lieu du sommet d’une parabole ayant un foyer donné et tangente h une droite donnée.

7® Trouver le lieu du foyer d’une parabole ayant son sommet en un point donné et tangente îi une droite donnée.

8“ Trouver le lieu des foyers des courbes du second degré inscrites dans un par.illélogramme donné.

9* Une corde tourne autour de l’un des foyers d’une courbe du second degré; trouver le lieu du point de rencontre des normales menées à la Courbe par ses denx extrémités.

40" Deux courbes du second degré ayant un foyer commun, un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet situé au foyer commun ; trouver le lieu du point de rencontre des tangentes menées respectivement aux deux courbes aux points où elles sont coupées par les côtés de l’angle.

44" Trouver le lieu du point de rencontre des droites menées parallèlement à deux directions fixées par les extrémités d'une coide de longueur donnée menée à une circonférence donnée.

4 2" Trouver le lieu du centre d'une hyperbole équilatère circonscrite à un triangle équilatéral, ou à un triangle rectangle.

43" Trouver le lieu des foyers ou des sommets d'une hyperbole, ayant une asymptote et une directrice données.

4 4" Étant donnée une conique, inscrite dans un angle; une tangente mobile roule sur la courbe, et on joint k deux points fixes les points où cette tangente coupe les deux côtés de l'angle ; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.

43" Étant donnée une ellipse; un cercle, ayant son centre fixe et son rayon variable, coupe l'ellipse; trouver le lieu du point de rencontre des sécantes communes.

46" Un cercle mobile coupe une ellipse donnée en deux pointa fixes A RR. 17

258 UVRE m, CHAPITRE

et B; trouTer le lieu du point de rencontre des tangentes communes aux deux courbes.

Le lieu reste le même quand la sécante commune ÂB se déplace parallèlement à elle-même.

Etant données deux coniques homofocalet, démontrer que, si par deux points de l’une on mène des tangentes è l’autre, ces quatres droites sont tangentes k un même cercle.

47* Trourer le lieu du centre d’une hyperbole qui a un foyer donné et qui coupe eu un point donné une droite donnée parallèle k l’une des asymptotes.

48* Trouver le lieu du foyer d'une parabole qui touche deux droites données. Tune eu un point fixe, l’autre en un point variable.

49* Trouver le lieu du point de rencontre de deux paraboles, qui admettent pour foyer on point donné, qui touchent une droite donnée et qui se coupent sous un angle donné.

20* Etant donnés trois points A, B, C et une droite indéfinie, on prend sur cette droite un segment variable MN, vu du point A sous un angle constant; trouver le lieu du point d’intersection des deux droites BM et CN.

24° Deux angles de grandeurs constantes tournent autour de leurs sommets placés aux extrémités du grand axe d'une ellipse, le point de rencontre de deux des cétés décrit l'ellipse; trouver le lieu du point de rencontre des deux autres côtés.

22* Trouver le lieu des sommets d’une hyperbole équilatère passant en un point donné et ayant pour asymptote une droite donnée.

23* Étant données une série de coniques ayant pour foyers F et F^, et une droite fixe passant par le foyer F ; les tangentes à ces diverses coniques, aux points oh chacune d’elles est coupée par cette droite, sont tangenies k une même parabole, qui a pour foyer le point F', et pour directrice la sécante.

La partie de chaque tangente comprise entre la conique et la parabole est vue du foyer F' sous un angle droit.