CHAPITRE X

Théorie dea pélea et dea polalrea.

Soit

réquation d’une courbe algébrique du degré m, mise sous

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. Ésé

orme entière. La tangente, au point dont les coordonnées ont X et y, est représentée par l’équation

>tte équation renferme aussi les coordonnées du point de ;ontact au degré m; maison peut, au moyen de la relation (i), ‘aire disparaître les termes du degré m. On opère aisément cette réduction à l’aide d’une notation particulière, que nous ferons connaître. Concevons que dans l’équation (i), on rem-

place a; et y par - et * > et que l’on mulli|)lie tous les termes a «

par JS", le polynôme f(x, y) se transforme en un polynôme homogène et du degré m entre les trois lettres x, y, z, polynôme que nous représenterons par f (x, y, s). 11 est évident que si dans ce dernier polynôme on fait z = i, on reproduit le polynôme proposé f{x, y). On sait que si une fonction f[x,y,z) est homogène et du degré m par rapport aux trois lettres x,y,z, on a identiquement

«r* -1- !//■^ -+- =mf(x, y, X).

On en déduit

xf'.-^yf', — mf{x,y,z) — zf',.

La valeur du second membre, quand on y fait s= i, est égale à la quantité xf'.-hyf'„ telle qu’elle entre dans l’équation de la tangente; mais le point de contact étant sur la courbe, le premier terme se réduit à zéro; rexjiression xf',+ yf^ est donc égale à la valeur que prend — zf'„ quand on fait z = i. On peut ainsi mettre réiiuution de la tangente sous la forme

XA' -t- Y/-; 4- .-/•' = O- Pour plus de symétrie, ou écrira

(2) x/’;4-Y/’;-hZ/’i=o.

Quand on aura pris les trois dérivées partielles de la fonction homogène f (x, y, z), on remplacera dans l’équation (2) ;s et Z par l’unité.

— Proposons-nous maintenant de mener par un point

Î60 LIVRE m, CHAPITRE X.

donné p, ayant pour coordonnées x, et y,, des tangentes à la courbe donnée. Appelons a; et y les coordonnées de l’un des points de contact; la tangente en ce point devant passer par le point P, l’équation (2) sera vérifiée parles coordonnées x, et y, du point Pj ce qui donne la relation

que, pour plus de symétrie, on mettra sous la forme (3) xJi-hp,fl-i-zJi=o,

en convenant de remplacer z et z, par l’unité. Les points de contact seront déterminés par les deux équations simultanées (i) et (3). Ces deux équations étant l’une du degré r», l’autre du degré m — i, le nombre des solutions sera, en général, m(m — i). Ainsi par un point p on peut, en général, mener m{m — i) tangentes, réelles ou imaginaires, à une courbe du degré m.

Lorsque la courbe est du second degré, l’équation (3) est du premier degré, et l’on a deux solutions, réelles ou imaginaires conjuguées. Quand les deux solutions sont réelles, on peut mener du point p à la courbe deux tangentes réelles. Quand les deux solutions sont imaginaires conjuguées, les deux tangentes sont imaginaires conjuguées, mais la droite des contacts (3) reste réelle.