PROPORTION HARMONIQUE

300— Étant donnés deux points A et B, on sait qu’il existe sur la droite AB deux points C et D tels que le rapport de leurs distances aux deux points A et B est égal à un rapport donné (fig. 171]. Ces deux points C et D sont dits conjugués harmo- ^ A D I B niques par rapport aux

’ ’ ’ ’ ’ ~ deux points A et B. D’a-

*’‘e- près cela, il y a une infi-

nité de systèmes de points conjugués harmoniques de deux points donnés; on peut prendre l’un des points à volonté. Si le point D se rapproche du milieu 1 de la droite AB, le point conjugué C s’éloigne à l’infini et réciproquement.

Appelons o et 6 les distances du point C aux deux points A

et B, et de même et V les distances du point D aux deux points A et B, ces distances étant affectées du signe + ou du signe — suivant qu'elles sont comptées dans un sens ou dans l’autre. L’un des points étant situé entre les deux points A et B, et l’autre sur le prolongement de la droite, il est clair que l’un des rapports est négatif, l’autre positif; on a donc la relation

On peut déterminer les positions relatives des quatre points par les distances du point C aux trois autres; les lettres a et 6 désignent déjà les distances du point Gaux deux points A et B; appelons d la distance du point C au point D; on aura a'=a — d, V=b — d, et la relation précédente devient

On peut aussi déterminer les positions relatives des quatre points par leurs distances au point I, milieu de la droite AB. Si l’on appelle a,, e^, d^ les distances des points A, C, D au point 1, on a a = e^ — o,, 6 = c,-+-a„ a'=d^ — a^, b'=d^-^-a^, et la relation (4) devient

THÉORÈME I

301 — Étant donnée une section conique, si par un point p du plan, on mène une sécante quelconque mm' (flg. 172), le lieu du point p' conjugué harmonique du point p par rapport aux deux points d'intersection m et m' de la sécante et de la courbe est une ligne droite.

Soit y) = Aa;’-+-Ba!y-f-Cy*-f-Da!-HEy-hF=o l'équation de la courbe, x, et y^ les coordonnées du point p; une sécante quelconque menée par le point p pourra être représentée par les équations

Fig. 179.

862 LIVRE ffl, CHAPITRE X.

dans lesquelles a et 6 désignent deux constantes^ et p la distance du point P à un point quelconque de la droite; on en déduit x — Xi + ap, ÿ = y,-t-&p. En porlantces valeurs dans l’équation de la courbe, on obtient une équation du second degré en p,

f{x,-hap, ?/,+ &p)=o,

qui donne les distances du point p aux deux points m et m'. L’équation développée. devient

(Aa*-t-Ba6 p*-(- p + A^u !/i) = o>

ou, si l’on prend pour inconnue

' Vi) p + K;. -t- bf'y,) i (A + + C6‘) = O.

Appelons p' et p" les deux racines de cette équation, et p, la distance du point p au point conjugué barmonique p^. D’après

■ü Wa’lioh (5), on doit avoir - = Mais on a

^ . Pt p' P

' ■ ' I ui —

on en déduit

2 <^rr, + bf'y,

Pi yà

ou apJ^, + «»ptAr,-i-2/'(x„ y,)=o.

Le point p' appartenant à la droite pmm', ses coordonnées x et y vériûent l’équation (7) de cette droite, c’est-à-dire que l’on a Æ — a:, = op„ y — yi = 6pi; en remplaçant ap, et 6p, par ces valeurs dans l’équation précédente, on élimine les pajramèlres variables a et & et on obtient l’équation du lieu

Si l’on effectue les calculs, on voit que le terme constant 2^*1» Vi) — — Vt/’r, ‘■ôduit à D a:, -H E y, -H- 2 F, et l’é-

quation précédente devient

-t- yrr,-+- (t>®i -H Ey, -I- 2F) = O.

Mais on peut effectuer cette réduction d’une autre manière; imaginons, comme précédemment, que dans le polynôme

f(x, y] on remplace x et y par - et -* et que l’on multiplie

tous les termes par z*, ce polynôme se changera en un polynôme homogène et du second degré, que nous représenterons par f (x, y, z). On a identiquement, d’après la propriété des fondions homogènes que nous avons rappelée (n* 298),

xfi-t-yfr-hzf:=: 2/ {x, y, z),

on en déduit

2f{x, y, z) — xfL—yf'y=zf'.

ou bien, en remplaçant x, y, z par a:,, a„

On peut donc écrire l’équation (8) sous la forme OU, pour plus de symétrie,

en convenant de remplacer, après les dérivations, z et z^ par l'unité.

Ainsi le lieu du point p' conjugué harmonique du point p est une ligne droite; cette droite P s’appelle la polaire du point p, et réciproquement le point p est le pôle de la droite P.

Il est évident à prtort que les points de contactées tangentes menées du point p appartiennent au lieu; car, si les deux points m et m' coïncident, on a p, = p' = p", et, par conséquent, le point p' coïncide lui-même avec le point m. Ainsi la polaire du point p n’est autre chose que la corde des contacts relative à ce point. On peut vérifier, en effet, que les équations (3) et (9) sont identiques; car, si l’on développe l’équation (9), on voit qu’elle ne change pas quand on y permute les lettres x et x,, y et y^, z et z,.

309 — Examinons les positions relatives du pôle et de la polaire dans les trois courbes du second degré. Supposons

d’abord que la courbe soit une ellipse, si l’on prend pour axe des X le diamètre qui passe par le point p et pour axe des y le diamètre conjugué, l’ellipse ayant pour équation

OC üC Q ^

l’équation de la polaire se réduit à — i = o, ou x = —

d OC^

Ainsi la polaire P est parallèle aux cordes que le diamètre op divise en deux parties égales (fig. 173). Si l’on fait mouvoir le point P sur le diamètre oa, la polaire P se meut parallèlement à elle-même; tant que le point p reste à l’intérieur de la courbe, la polaire est à l’extérieur; quand le pôle va de 0

en a la polaire, d’abord située à l’infini, se rapproche de plus en plus de la courbe et devient tangente en a. Si le pôle sort de la •courbeel s’éloigne indéfiniment, la polaire coupe la courbe et se rapproche du centre de plus en plus. Le diamètre conjugué du diamètre op peut être regardé comme la position limite de la polaire du point p, quand le pôle s’éloigne à l’infini sur ce second diamètre.

Lorsque la courbe est une hyperbole, si le diamètre op rencontre la courbe, on obtient un résultat analogue à celui que nous avons trouvé pour l’ellipse; mais si le diamètre op, que l’on prend toujours pour axe des x, est imaginaire, l’équation

de la polaire devient x= ; le pôle p et le point p', où

la polaire coupe le diamètre op, sont situés de part et d’autre du centre, et la polaire coupe toujours la courbe en deux points. En particulier, si l’on fait Xi = a', on a x=—a'\ c’est-à-dire que si le pôlep est situé sur l’hyperbole conjuguée de l’hyperbole proposée, sa polaire est tangente à cette même hyperbole au point diamétralement opposé.

Le calcul précédent ne peut être appliqué lorsque le pôle p est situé [sur l’une des asymptotes de l’hyperbole.

Dans ce cas, si l’on rapporte la courbe à ses asymptotes, l’équation de la courbe est xy — h' = o, et celle de la polaire x^y-hy^x — 2k* = o; si le pôle est sur Taxe des x, l’équation

de la polaire se réduit iiy = — ; la polaire est parallèle à l’axe des X. *

Considérons enfin le cas où la courbe est une parabole. Si l’on prend pour axe des x le diamètre qui passe par le pôle et pour axe des y la tangente au point a où ce diamètre rencontre la courbe, la parabole a pour équation y* — zp'x = o et la polaire X =— Xj. La polaire est parallèle aux cordes que le diamètre passant par le pôle divise en deux parties égales; le pôle P et le point p' où la polaire coupe le diamètre op sont situés à égale distance du point a.

303— 11 résulte de ce qui précède que, réciproquement, toute droite admet un pôle et un seul. La courbe étant rapportée à des axes quelconques, pour déterminer les coordonnées x^ et iji du pôle p d’une droite donnée mx -+-ny-\-p = o, il suffira d’identifier cette équation avec l’équation (9) qui représente la polaire du point p, ce qui donne les deux relations

xaÉORÉME II.

304 — Étant donnée une section conique, si par un point p

on mène deux sécantes quelconques pn]m^ pnn^, gut coupent la courbe en m, m', n, n' (flg. 174), les points d'intersection q et q' des droites mn, m'n', ou mn', m^n appartiennent à la polaire du point p.

Nous remarquons d’abord que le théorème 1 subsiste lorsque le lieu du second degré se réduit Fig. 174. au système de deux droites; mais

alors la polaire du point p passe par le sommet de l’angle; car,

si l’on considère la sécante qui passe par le sommet, les deux points m et m' coïncident avec ce point, de même que le point p' conjugué harmonique du point p.

Cela posé, considérons le système des deux droites nrn, m'n' qui se coupent en q. La droite pmm' coupe la section conique et les deux côtés de l’angle mqvn! aux mêmes points m et m'; le point p' , conjugué harmonique du point p, est le même sur la sécante pmm', lorsqu’on regarde cette sécante comme appartenant à la section conique ou à l’angle. Le point p", conjugué harmonique du point p, sera aussi le même, dans les deux cas, sur la sécante pnnf. Les polaires du point p, par rapport à la section conique et à l’angle, ayant deux points communs p' et p", coïncident; mais on sait que la polaire relative à l’angle passe par le sommet q; donc le point q appartient à la polaire du point p par rapport à la courbe. Par la même raison, le point q' appartient à cette même polaire.

Corollaire. La courbe étant tracée, on déduit de ce théorème le moyen de construire la polaire du point p. On mènera par le point p deux sécantes pmm', pnn' à l’aide desquelles on déterminera deux points q et q' de la polaire.

Si le point p est extérieur, la polaire coupe la courbe en deux points qui sont les points de contact des tangentes menées du point p.

THÉORÈME III

305 — Si, par le point p, on mène une sécante quelconque

coupant la courbe en deux points m et m', les tangentes

en ces deux points se rencontrent sur la polaire du point P.

Ce théorème est une conséquence immédiate du précédent. Car, si la sécante pnn' (fig. 174) se rapproche indéfiniment de la sécante pmm', les deux droites mn, tn'n' deviennent tangentes à la courbe en m et m' (fig. 170).

Lorsque la sécante pmm/ ne rencontre pas la courbe, les tangentes aux points m et m' sont imaginaires conjuguées, et leur point d’intersection q reste réel. Dans tous les cas, ce point q est pôle de la droite mm'; ainsi on peut énoncer le théorème de la manière suivante : lorsqu'une droite pmm' tourne autour d'un point fixe p, son pôle q décrit la polaire du point p.

TBÉORÉHE IV.

306 — Réciproquement, lespolaires de tous les points d’une droite P passent par le pôle p de cette droite (fig. 175).

Par un point quelconque q de la droite P menons des tangentes à la courbe, et soient m et m' les points de contact. La droite pm passe par le point m'; car si on appelle m" le second point d’intersection de cette droite et de la courbe, le point de rencontre des tangentes en met enm", appartenant à la polaire P du point p, n’est autre que le point q; les deux tangentes qm! et qm" coïncident, ainsi que les points m' et m”. Ainsi la droite mm', polaire du point q, passe par le point p.

FIGCRES POLAIRES RÉCIPROQLES.

307— Élant donnée dans un plan une figure composée de points a, b, c, ... et de droites A, B, C, . . ., si l’on prend les polaires A', B', G',... des points, et les pôles a', b', c', ... des droites par rapport à une section conique déterminée, on formera une seconde figure com|K)sée comme la première de droites et de points. En opérant de la même manière sur la seconde figure, c’est-à-dire en prenant les pôles des droites et les polaires des points, on retrouve la première. Ces deux figures ont été nommées pour cette raison figures polaires réciproques (fig. 176).

La droite ab qui joint deux points a et 6 de l'une des flgures,

a pour pôle le point d’intersection des droites A' et B' de l'autre figure; et réciproquement le point d’intersection de deux droites A!

et B' de l’une des ligures a pour polaire la droite ab de l’autre figure. Si Fig. ne. plusieurs points a,

b, c,... sont en ligne droite dans l’une des figures, les droites A\ B', C', . . . de l’autre figure passent par un même point qui est le pôle de la droite. Réciproquement, si plusieurs droites A, B, C, . . . passent par un même point dans l’une des figures, les points a', b', de l’autre figure sont en ligne droite.

Étant donnée une courbe plane S, menons une tangente A à cette courbe et prenons le pôle a' de cette tangente (fig. 177).

Fig. 177.

tangente A, le point m tend

Si l'on fait rouler la tangente A sur la courbe S, le pôle al décrira une autre courbe S'.

! Soient A et B deux tangentes voisines à la courbe S, a' et V leurs pôles; le point d’intersection m des deux droites A et B est le pôle de la droite olbl', si la tangente B se rapproche indéfiniment de la s le point de contact a de la

tangente A, en meme temps la secante a!b! tourne autour du

point a! et devient tangente à la courbe S^ au point a'; ainsi réciproquement la courbe S est le lieu du pôle a d’une tangente mobile A' à la courbe S'. On voit que les points a et (r' se correspondent de telle sorte que la tangente en l’un de ces

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Minls est la polaire de l’autre. Les deux courbes S et S' sont iiles polaires réciproques.

SOS— Soit

(II) Ÿ{x,y) = o

l’équation d’une courbe algébrique S du degré m; la tangente ^ au point a dont les coordonnées sont x ely est représentée par l’équation

(12) xf;-i-yf;-+-zf:=o.

Appelons x^ et y, les coordonnées du pôle a' de la droite A par rapport à une courbe directrice du second degré f {x, y) = o. l'équation de la polaire du point a' est

(i3) xr;,+Yr;.+zr;,=o.

Les deux équations {12) et (i3), qui représentent la même droite, doivent être identiques, et l’on a les relations

ùi

Si, entre les trois équations (ii) et (i4), on élimine x et y, on obtient l’équation de la courbe S^ lieu du point a'.

Cherchons, par exemple, la courbe polaire réciproque de la section conique Ax*-t- By’ — I = 0, par rapport au cercle directeur x*-|-!/* — 1 = 0.

Si l’on remplace x et y par - et ces deux équations prennent la forme

bomogènc Ax'-f-By* — s*= 0, — s’= 0, et les équations (U)

ce y Z

deriennent — î- = ^ = -i; on en déduit, en faisant 5 = z, = 1,

Ax by Z ' *

I = V g ; portant ces valeurs dans l'équation de la courbe

proposée on obtient l'équation ^ ^ ~ ^ t'* courbe polaire réci-

proque est une nouvelle section conique.

30® — Nous avons appelé degré d’une courbe algébrique le degré de l’équation qui la représente en coordonnées rectilignes, ou le nombre des points réels ou imaginaires suivant lesquels la courbe est coupée par une droite quelconque. On appelle de même classe de la courbe le nombre des tangentes

réelles ou imaginaires que l’on peut mener à la courbe par un' point quelconque du plan. Si l’on désigne par m le degré et par n la classe d’une courbe algébrique, on a, en général, d’après ce que nous avons dit au n® 299, n = m{m — 1). On sait que l’on peut mener d’un point quelconque deux tangentes à une courbe du second degré; les courbes du second degré appartiennent donc à la seconde classe.

Il est aisé de voir que deux courbes polaires réciproques S etS'(fig. 178) sont telles que le degré de l’une est égal à la classe de l’autre. Une droite quelconque P coupe la courbe S en m points a, 6, c,. . à ces ni points correspondent m droites X', B', C', . . . tangentes à la courbe S' et passant par le point p', pôle de la droite P, et réciproquement, à chaque tangente A' menée du point p' à la courbe S' correspond un jioint a appartenant à la courbe S et situé sur la droite P; ainsi le nombre des tangentes que l’on peut mener du point p' a P. la courbe S' est

égal au nombre des points d’intersection de la ,, courbe S par la droite P, et, par conséquent, la classe de la courbe S' est égale Fig- au degré de la courbe S. De même le degré de la courbe S' est égal à la classe de la courbe S.

Une courbe du second degré étant de la seconde classe, il en résulte que la courbe polaire réciproque d’une courbe du second degré est aussi du second degré.

11 est même facile dans ce cas de déterminer l’espèce de la courbe. Si le centre 0 de la courbe directrice est situé en dehors de la courbe S, on peut de ce point mener deux tangentes réelles A et B à la courbe S (fig. 179); les pôles de ces tangentes s’éloignant à l’inGni, on en conclut que la courbe S' a des branches infinies dans deux directions différentes; c’est donc

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. 27i

une hyperbole. Soient a et 6 les points de contact des tangentes A et B; les polaires A' et de ces deux points sont les tangentes à la courbe S' aux points situés à TinQni, ce sont, par conséquent, les asymptotes. Lorsque le centre O de la courbe directrice est situé sur la courbe S, les ï"**- points a et 6 coïncident avec

le point O, la polaire de ce point, ou l’asymptote, est rejetée à Pinfini, et la courbe & est une parabole. Enfin, si le centre o de la courbe directrice est situé à l’intérieur de la courbe S, la courbe S' est une ellipse.

— La méthode des polaires réciproques a une grande importance dans l’étude des sections coniques; elle permet, quand on a trouvé une propriété de ces courbes, d’en déduire immédiatement une propriété corrélative. Nous avons démontré, par exemple, au n“ 274, que par cinq points donnés on peut faire passer une section conique et qu’on n’en peut faire passer qu’une; on en déduit que l’on peulmener une section conique tangente à cinq droites données et qu’on n’en peut mener qu'une. Concevons, en effet, que l’on ait tracé dans le plan une section conique quelconque pour servir de courbe directrice, et que, par rapport à cette section conique, on ait marqué les pôles a', b', d , dl, d des cinq droites données A, B, C, D, E; par les cinq points 0! , V , d , d! , d on peut faire passer une section conique S'; la courbe polaire réciproque de la courbe S' est une section conique S tangente aux cinq droites données. Réciproquement, à toute section conique tangente aux cinq droites correspond une section conique passant par les cinq points; comme on ne peut faire passer qu’une section conique par les cinq points, il n’existe qu’une section conique tangente aux cinq droites.

31fl — Nous avons démontré aussi (n“ 288) que les trois points d’intersection des côtés opposés d’un hexagone inscrit à . une section conique sont en ligne droite. On en déduit ce théo-

rème corrélatif attribué à Brianchon : les trois droites qui joignent les sommets opposés d’un hexagone circonscrit à une section conique, passent par un même point. Soit t abcdef (flg. i8o) un hexagone circonscrit à une section conique; l’hexagone inscrit, qu i a pour sommets les points de contact, est la flgure corrélative de l’hexagone circonscrit par rapport à la section conique proposée; car les sommets a, b, c,... de l’hexagone circonscrit sont les pôles des côtés A', B', C', . . . de l’hexagone inscrit. La diagonale ad de l’hexagone circonscrit est la polaire du point d’intersection m' des côtés opposés M et IV de l’hexagone inscrit; la diagonale be est la polaire du point d’intersection n' des deux côtés opposés B' etE' et la diagonale cf la polaire du point d’intersection p' des deux côtés G' et F'. Puisque les trois points m', n' p' sont en ligne droite, leurs polaires ad, be, cf passent par un même point o, pôle de la droite m'n'p' .

Nous ferons ici une remarque analogue à celle qui a été faite à propos du théorème de Pascal. 11 n’est pas nécessaire que l'hexagone circonscrit soit convexe, il suffit qu’il soit fermé. Supposons qu’on ait tracé six langenies à une section conique; pour former l’hexagone, partant du point d’intersection de deux tangentes, on s’avancera sur l’une d’elles jusqu’à la rencontre d’une autre tangente; puis sur cette seconde tangente, dans un sens ou dans l’autre, jusqu’à la rencontre d’une troisième tangente, et ainsi de suite, de manière à revenir au point de départ après avoir marché sur toutes les tangentes sans discontinuité. La ligne brisée ainsi formée est un hexagone circonscrit. Si l’on numérote les sommets dans l’ordre suivant lequel

Fig. 180.

on les a obtenus, les trois diagonales qui joignent les sommets (i, 4), (2, 5), (3, 6) passent par un même point (Qg. i8i).

Fir. 181.

312 — Corollaire. Quand on définit une section conique par cinq tangentes, on peut, à l’aide du théorème précédent, construire autant de tangentes que l’on vent. Soient les cinq tangentes ab, bc, cd, de, ef (Gg. i8o); cherchons la seconde tangente qui passe par un point a pris arbitrairement sur l’une des tangentes données; on prendra le point d’intersection o des diagonales ad et be; on mènera la droite co et on joindra le point a au point f oii la droite co rencontre la tangente ef.

On peut aussi déterminer le point de contact de chacune des tangentes. Quand deux côtés de l’hexagone circonscrit, par exemple, les côtés ab et bc, coïncident, le sommet intermér diaire b devient le point de contact; pour trouver ce point de

contact, on joindra le sommet e au point d’intersection o des diagonales ad et cf (fig. 182).

Lorsqu’on a déterminé les points de contact de trois tangentes, on obtient les éléments de la courbe par le procédé que nous avons indiqué au 11° 28(1.

313 — Du théorème de Brianchon, on déduit les corollaires suivants : un quadrilatère étant circonscrit à une section conique, les deux diagonales et les deux droites qui joignent uu. 1 8

Î74 LIVRE ni, CHAPITRE X.

les points de contact des côtés opposés passent par un même point.

Un triangle étant circonscrit à une section conique, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés passent par un même point. Il suffit de compléter l’hexagone circonscrit, dans le premier cas avec les points de contact de deux côtés opposés, dans le second cas avec les trois points de contact.

314 — Nous indiquerons encore comment on détermine la parabole tangente à quatre droites A, B, C, D. Supposons le problème résolu, et soit F le foyer de la parabole, les pieds des perpendiculaires abaissées du point F sur les tangentes sont en ligne droite n® 249. Mais nous avous démontré n® 109 que le lieu d’un point F tel que les perpendiculaires abaissées de ce point sur trois droites A, B, G aient leurs pieds en ligne droite est le cercle circonscrit au triangle formé par les lignes A, B, C. D’après cela, si l’on circonscrit un cercle au triangle formé par A, B, C, puis un second cercle au triangle formé par B, C, D, ces deux cercles qui passent par le point de rencontre des lignes B et C se couperont en un second point, et les pieds des perpendiculaires abaissées de ce point sur A, B, C, D seront en ligne droite; ce point étant le seul qui jouisse de celte propriété sera le foyer F de la courbe. En prolongeant chacune des perpendiculaires d’une longueur égale à elle-même on obtient quatre points a„ 6„ c^, d^ qui sont encore en ligne droite et qui sont situés sur la directrice. Il facile de voir que, réciproquement, la parabole dont le foyer est F et la directrice la droite a^b^c^d^ est tangente aux droites A, B, C, D; car en élevant aux points a„ 6„ Cj, d^ des perpendiculaires à la directrice, ces perpendiculaires rencontrent les droites en des point a, b, c, d tels que chacun d’eux est également distant du foyer et de la directrice, ces points appartiennent donc à la courbe; de plus la droite A fait les angles égaux avec les lignes aa^, et oF, donc celte droite A est tangente à la parabole au point O. On voit ainsi que le problème admet toujours une solution et une seule, excepté dans le cas où les cercles circonscrits aux deux triangles se touchent.

#1® — Considérons le cas particulier où la courbe directrice est un cercle de rayon r; la polaire A' d’un point a est perpendiculaire à oa et ù une

distance du centre égale b — . Les droites

qui joignent le centre b deux points a et b font entre elles un angle aob égal b celui des polaires A' et B' de ces points (Gg. 483).

Par le centre o, menons des parallèles aux droites A' et B'; des points a et 6 abaissons des perpendiculaires sur ces droites; les triangles rectangles oae, obf sont semblables et donnent la proportion

ac+ ce ac-^- og ,

ob ~ b( 6d + df hd + oh'

on en déduit oo (M + o/i) = o6 (ac -\-og); mais on a oa.oh = ob.og = r*;

il en résulte oa.bd = ob.ac, ou -— = — .

00 bd

Ainsi les distances de deux points au centre sont proportionnelles aux distances de chacun d’eux b la polaire de l'autre.

Cherchons la courbe polaire réciproque d’un cercle de rayon r' par rapport au cercle o. Soit C’ la polaire du centre c du cercle proposé (fig. 184); menons b ce cercle une tangente quelconque A et prenons le pôle o' de

cette droite; d’après la propriété précédente,

oo' o' d oa' oc ,

on a — = — r* ou -y— = le rapport oc r a d r

des distances de chacun des points a' du lieu

au point 0 et b la droite tixe C' est consliint;

donc ce lieu est une courbe du second degré

dont le point o est l’un des foyers et la droite

C' la directrice corre.spondante.

A l’aide de cette transformation, on peutdé-

Fig. l&l. diiire immédiatement des propriétés du cercle

la plupart des propriétés focales des courbes du second degré. Ainsi,

par exemple, deux tangentes A et B au cercle c font des angles égaux avec

la corde des contacts ab; aux droites A et B correspondent deux points a'

et 6' de la section conique; aux deux points a et h du cercle les tangentes

A' et B' à cette section conique en a' et b'; b la droite ab ou M le point

d’intersection m' des droites A' et B'. Les rayons menés du foyer o aux

points a', 6', m' faisant entre eux des angles égaux b ceux de leur.s polaires

A, B, M, on en conclut que la droite om’ est bissectrice de l’angle a'ob (no 255).

Le lieu du sommet m d’un angle constant circonscrit au cercle c est un cercle concentrique. Aux deux tangentes A et B menées du point m ac cercle c correspondent deux points a' et b’ de la conique, et au point m h droite a' b': l'angle a'ob', étant égal It celui des droites A et B, est auss constant; le point m décrivant un cercle dont le centre est c, sa polaire a' b enveloppe une section conique dont le point o est l'un des foyers et la polaire du centre c la directrice. Ainsi la corde vue du foyer d'une section conique sous un angle constant enveloppe une section conique qui a mirnt foyer et même directrice. La corde a6 du cercle enveloppe un cercle concentrique; doue le point de concours des tangentes k la section conique en a' et b' décrit une section conique qui a aussi même foyer et même directrice.