COURBES ENVELOPPES

31tt— Dans ce qui précède, nous avons été amenés à considérer des courbes tangentes à des séries de droites; lorsqu’un point décrit une courbe, sa polaire reste tangente à une aulrc cotirbc. On appelle, en général, enveloppe d’une ligne mobile une courbe à laquelle cette ligne reste constamment tangente. Soit

une étiuation renfermant un paramètre variable a. A chaque valeur de a correspond une ligne déterminée. Donnons au paramètre deux valeurs voisines a et a 4- A; la ligne (i) et la ligne

(2) f(x,y,a-hh) = o

se coupent en un point M' (fig. i85) dont les coordonnées vérifient à la fois les équations (i) et (2). Le système de ces deux équations peut être remplacé par le suivant

fix-hy,a-i-h)— f(x, y, a) h

qui, lorsque h tend vers zéro, se réduit à

(3) f {X, y, a) = o, fi (x, y, a) = 0.

Or, quand h tend vers zéro, le point M' se déplace sur la

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. 277 ligne (i) et tend vers une position limite M; c’est ce point limite qui est représenté par le système

(3). Chacune des lignes (i) contient un Fig. 185. point limite; on ob-

tient le lieu de ces points, c’est-à-dire le lieu des intersections successives des lignes représentées par l’équation (i), en éliminant a entre les équations (3).

Considérons de nouveau le système des équations (i) et (2), dans lesquelles nous regardons a comme une variable et h comme une constante; ce système représente le lieu des points suivant lesquels chaque ligne (a) est coupée par la ligne (a -+- A). Deux de ces points se trouvent sur la ligne (a), savoir : le point d’intersection M' des lignes (a) et (a-t-/i), lo point d’intersection M" des lignes (o — h) et (a). Üuand h tend vers zéro, les deux points M' et M" tendent vers la même position limite M, et le lieu devient tangent à la ligne (a) au point M. Ainsi le lieu des intersections successives des lignes représentées par l'équation (i) est langent à chacune de ces lignes. A cause de cette propriété, on dit que le lieu est l’enveloppe des lignes (i) qui portent le nom d’cnreloppées.

317 — Supposons maintenant que la ligue mobile soit représentée par une éijuation

(4) fix, y, a, b)=o,

contenant deux paramètres variables a et b liés par la relation

Si l’on appelle b' la dérivée de b considérée comme une fonction de a donnée par l’équation (5), on a <pI-t-<piA' = o; d’où

6'= — Mais si l’on égale à zéro la dérivée de la fonction

f(x, y, a, b) par rapport à a, en y regardant b comme une fonction de o, on a f.-l- fib' = o; on en déduit la relation

(fi)

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et pour trouver l’équation de l’enveloppe, on éliminera les deux paramètres a et 6 entre les trois équations (4), (5), (6).

318 — Comme exemple, cherchons l'enveloppe des normales à une parabole. La normale à la parabole i/* — 2px = 0 au point M (fig. 186) dont \yy les coordonnées sont æ et y, a pour équa- / U lion P (Y — y) + ÿ (X — 05) = 0 ; si l’on

remplace x par sa valeur cette équa*

tion devient

O) pY-i-y(X-p)-^=0;

elle renrerme un paramètre arbitraire y; il faut prendre la dérivée par rapport i y, 3 U*

et éliminer y entre les équations (7) et (8). En remplaçant dans l’équation (7) y’ par sa valeur tirée de l’équation (8), on a

•3pY

2(X-p) l’équation de l'enveloppe

portant cette

valeur de y dans l’équation (8), on obtient

Cette courbe a la forme indiquée dans la figure ; elle présente un rebroussement en C : car la tangente en ce point, étant normale h la parabole au sommet A, coïncide avec l’axe AX. Quand le point M décrit la branche AB de la parabole, la normale roule sur la branche CD de l’enveloppe; et de même quand le point M décrit la branche AB' de la parabole, la normale roule sur la branche CD' de l’enveloppe.

Si l’on veut mener des normales i la parabole par un point donné P, il suffira de regarder dans l'équation (7) X et Y comme les coordonnées du point P et l’ordonnée y du pied M de la normale comme l’inconnue ; on peut mener du point P trois normales à la parabole ou une seule suivant que celte équation du troisième degré en y admet trois racines réelles ou une seule. Cette question revient évidemment à mener des tangentes h l’enveloppe par le point P; ainsi l’enveloppe, qui est du troisième degré, est aussi de la troisième classe. Lorsque le point P est situé entre les deux branches de l’enveloppe, on peut mener de ce point trois tangentes à l’enveloppe, et, per conséquent, trois normales h la parabole ; mais lorsque le point est

siiué en P’ à l'extérieur, on ne peut mener qu’une seule tangente à l’enveloppe, et, par conséquent, une seule normale a la parabole.

SI 9 — Cherchons encore l’enveloppe des normales h l’ellipse

Téquation de la normale au point {x, y)

renferme deux paramètres variables a; et y liés par Ut relaUon

D’après la formule (6) du n« 347, on a

on a obtenu le troisième rapport en ajoutant les numérateurs et les dénominateurs, après avoir multiplié les deux termes du premier par x, les deux termes du second par y, et tenant compte des équations (10) et (11); on en déduit

portant ces valeurs dans l'équation (11), on obtient l'équation de l'enveloppe

Cette courbe présente quatre points de rebroussement (6g. 187). Quand

le pied M de la normale décrit l'arc âB de l'ellipse, la normale roule sur l'arc CD de l'enveloppe.

Si l'un veut mener des normales à l'ellipse par un point donné P, ayant pour coordonnées X et Y, les deux équations simultanées (10) et (11) donneront les coordonnées X et y du pied de chacune des normales; les pieds des normales sont les points d’intersection de l'ellipse proposée (11) et d'une hyperbole (10) ; il y a quatre solu-

lions. Hais celle queslion revieni à mener des langenles à l'enveloppe par le point P ; on en conclut que l'enveloppe, qui est du sixième degré, est de la quatrième classe. Lorsque le point P est siiué h l’intérieur de l’enveloppe, on peut mener de ce point quatre tangentes è l’enveloppe, et, par conséquent, quatre normales réelles è l'ellipse; mais lorsque le point est situé il l’extérieur, par exemple en P', on ne peut plus mener que deux tangentes réelles ù l’enveloppe, et, par conséquent, deux normales à l’ellipse.

L’enveloppe des normales à l’hyperbole a pour équation

320—11 est à remarquer que la recherche de l’enveloppe d’une droite mobile peut être ramenée à la théorie des polaires réciproques. Car cette courbe enveloppe est la courbe polaire réciproque de la courbe décrite par le pôle de la droite, relativement à une section conique déterminée. Représentons la droite mobile par une équation de la forme

(i4) px + qt/ — 1 = 0,

renfermant deux paramètres variables liés par la relation (i5) 9(p, î)=o,

et prenons pour courbe directrice la courbe x*-hy* — i =o; cette courbe sera un cercle si les axes des coordonnées sont rectangulaires. La droite x,x-hy,y — i = o, polaire du point (Xj, ÿ,), coïncidera avec la droite mobile, si l’on fait x,=p, y, = q; ainsi la courbe S', décrite par le pôle de la droite mobile, a pour équation (i6) ç (x,, y,) = o. La tangente A! en un point (x„ y,) de la courbe S' est représentée par Téquation

X «pi, •+• Y 4- Z <pi ^ = O ;

un point a dont les coordonnées sont x et y a pour polaire xX-l-yY — I = o;

ce point sera le pôle de la droite A', si les relations

sont vérifiées. Pour obtenir la courbe S polaire réciproque

de S', c’est-à-dire le Heu du point a, il suffira d’éliminer x, et y, entre les équations (i6) et (17).

Lorsque la relation qui existe entre les deux paramètres variables p et q est exprimée par une équation algébrique entière du second degré, la courbe S' étant une section conique, il est clair que la courbe S est aussi une section conique.

391 — Exemple I. Trouver l’enveloppe d’une droite telle que le produit de ses distances ï deux points fixes F et F’ soit égal à une quantité donnée. En prenant pour axe des x la droite FF' et pour axe des y une perpendiculaire sur le milieu de cette droite, appelant 3c la distance FF', b' le produit constant, et représentant la droite mobile par une équation de la forme px-i- qy — 1 = 0, on a, entre les deux paramétres variables p et q, la relation

il faut prendre le signe -h ou le signe — suivant que la droite laisse les deux points d’un même côté ou passe entre les deux. La courbe S' ayant pour équation

l'équation de la courbe cherchée, ou de la polaire réciproque (n°308), est

c* zt 6*

C’est une ellipse ou une hyperbole dont les points F et F' sont les foyers. Ce théorème est la réciproque d'un théorème démontré au chapitre Vil.

899 — Exeuple 11. Étant donné un quadrilatère abcd, trouver l’enveloppe d’une droite telle que le produit de ses distances h deux sommets opposés soit au produit de ses distances aux deux autres sommets dans un rapport constant. Appelons et y^, x, et t/„ x, et y,, x, et y, les coordonnées des quatre sommets , et représentons la droite mobile par l’équation px + qy — i =0; on aura entre les deux paramètres p et g la relation

(px, -4- qy, — 1 ) (px,-|- gÿ, — 1 ) - k‘ {px,-t gy, - 1 ) [px, + gy, 1 ) = 0 ;

celte relation étant du second degré, on en conclut que l'enveloppe est une courbe du second degré. L’équation précédente est vérifiée quand la droite mobile coïncide avec l’un des côtés du quadrilatère, puisque dans chaque terme un facteur s’annule. Ainsi la courbe est inscrite dans le quadrilatère et on peut donner an rapport k une valeur telle que la courbe soit tangente i une cinquième droite quelconque II en résulte celte propriété générale

des sections coniques : un quadrilatère étant circonscrit à une section conique, le produit des distances d'une tangente quelconque à deux sommets opposés du quadrilatère est au produit des distances de cette même tangente aux deux autres sommets dans un rapport constant.

323 — Nous avons mis l’équation du second degré sous différentes formes; il est bon de remarquer que l’équation de la tangente ou de la polaire d’un point peut être mise sous une forme analogue à celle de la courbe. Un terme quelconque de l’équation est de la forme Aa^, a et p étant deux fonctions linéaires et homogènes en x, y, z

a = ax-i-by + cz, Ç> — a'x-i-b'y-i-c'z.

La polaire d’un point P, dont les coordonnées sont y„ 2,, est représentée par l’équation

Appelons a, et p, les valeurs des polynômes a et p quand on y remplace x, y, z par x,, y^ z^, le terme Aa^ donne dans l’équation de la polaire la quantité

A [x (o' a, + O P,) y (6' a, -+- 6 P,) -H z (c' a, -h c P,)], ou A (a, P 4- P, a).

Un terme de la forme Aa* donnera aAaa,.

Par exemple, si l’équation de la conique est mise sous la forme — hy* = o, la polaire a pour équation

a, P + Pi a — 2A:YiY = o.

A la forme x*+y* — a*=o, dans laquelle l’origine est le foyer et la droite a = o la directrice, correspond de même la forme x^x-^-y^y — aja = o.

L’équation ap — = o dans laquelle k est un paramètre

arbitraire, représente toutes les coniques passant par quatre points fixes. La polaire d’un point donné a pour équation a,P4-Pja — A (y, ^-1-^1 y) = 0. On voit que toutes ces polaires passent par un point fixe. On en déduit ce théorème corrélatif : les pôles d’une même droite par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites données sont en ligne droite. Si l’on suppose que la droite s’éloigne à l’infini, son pôle de-

vient le centre de la courbe; ainsi le lieu des centres des coniques tangentes à quatre droites données est une ligne droite.

324 — Soient a = o, P = o, y = o les équations de trois droites fixes; on peut déterminer la position d’un point quelconque m du plan par l’intersection de deux droites

passant par deux des sommets du triangle formé par l(>s trois droites fixes; les deux droites dont il s’agit dépendent des deux paramètres variables a et 6 que Ton peut regarder comme les coordonnées du point tn. Les nouvelles coordonnées a et b sont des fractions rationnelles du premier degré en X et y; de même, si Ton résout les deux équations (i) par rapport à x et à j/, on obtient des fractions rationnelles du premier degré en a et 6; il en résulte que toute équation algébrique et entière par rapport à Tun des systèmes de coordonnées se transforme en une équation algébrique du même degré par rapport à l’autre système. Si, dans l’équation entre

a et b, on remplace o et 6 par - et on obtient une équa-

tion homogène en a, p, y Ainsi une ligne droite sera représentée par une équation homogène du premier degré en a, p, Y, et de même une conique par une équation homogène du second degré.

11 est évident que la droite qui passe par deux points donnés {af, bf), (a", b") a pour équation

Si l’on suppose que ces deux points soient deux points voisins d’une courbe f (a, b) = o, et que le second point se rapproche indéfiniment du premier, on voit que la tangente en ce point est représentée par l’équation

ou af'a' + f>fi,— {a'f',,-hVf,,) = o.

Si l’on remplace a et & par - et -» a' et b' par -7 et afin

de rendre l’équation homogène, l'équation de la tangente devient (n® 298)

»/■»'+ P^p'-+-YfY' = O-

Lorsque la courbe est du second degré, l’équation [irécédente ne change pas quand on y permute les lettres a et a', jî et Y et Y- Si a', p, y désignent les coordonnées d’un point quelconque du plan, la corde des contacts des tangentes menées de ce point, c’est-à-dire la polaire de ce point par rapport à la conique, a pour équation

Nous avons déjà employé plusieurs fois le système de coordonnées dont nous venons de parler. En voici de nouvelles applications.

Exemple 1. Considérons deux triangles polaires réciprotpies par rapport h une conique donnée; afin de simplifier, prenons les côtés de l’un des triangles comme lignes de repère servant à la définiiion des nouvelles coordonnées, et soit

/■ («. P. ï) = 5 (A' a* -f- A P» -f- A"r -t- 2 B Pt -h 2 lira 2 B" ap) = 0

l’équation de la conique. La polaire d’un point quelconque (a', p', t’) a pour équation “'/ÎL+ PY«+ y'I' — 0- En particulier, les polaires des trois

ot P T

sommets (p'= 0, t'= 0), (t' = 0, a' = 0), (a'= 0, p' = 0) du triangle sont représentées par les équations

r = Aa+B"p-|-B'T=0, /'=A'p+BY-)-B''a=0, />'=A"T-d-B'a+Bp=0.

Ces polaires sont les côtés du second triangle. Les coordonnées du point d’intersection des deux côtés correspondants a = 0, = 0 vérifient les

équations O 0, B"P4-B't = 0, ou a= 0, -^-1- 0 ; ce point est

donc situé sur lu droite ^ -+- J » = ® > et il en est de même des deux

autres. Ainsi tes trois points de rencontre des côtés correspondants de divx triangles polaires réciproques sont en ligne droite.

Un sommet du second triangle est donne par les deux équations — 0, fL=0, la droite B/'' = P»®*®

tient plus la lettre y, cette droite passe évidemment par le sommet (a= 0, p= 0) du premier triangle. Les droites qui joignent les sommets correspondants étant représentées par les équations B/'' = B'/p = B"/', on en conclut que ces trois droites passent par un même point .

Exemple II. Un triangle abc est inscrit dans une conique ; deux de ses

côtés ab et ac tournent autour de deux points fixes p et q (fig. 1 88j, trouver l’enveloppe du troisième côté 6c. Soient y=0 l’équation de la droite pq, a = 0 et p = 0 celles des tangentes aux points d et 8 oü cette droite rencontre la courbe; l’équation de la conique sera de la forme ap — Y* = On peut regarder- les points p et q comme les points oü la droite Y = 0 est coupée par deux droites a + pp=0, a-t-qp = 0 qui passent par le point d’intersection o des tangentes en d et e. Un point quelconque o de la courbe peut être déterminé par 1 intersection de deux

droites a — nY = 0, p — ^ = 0 passant par les points d et e, a étant un

paramètre arbitraire qui définit la position du point sur la courbe. En attribuant à ce paramètre une autre valeur 6, on obtient un autre point 6. Une droite quelconque passant par le point a a une équation de la forme

— = 0;pour qu’elle passe par le point 6 qui est représenté

par les deux équations a — bf — 0, p — ^ = 0, il faut faire k = ab; ainsi la droite qui joint deux points quelconques a et 6 de la courbe, a pour équation a-l-aôp — (o-+-6)Y==0.

Cela posé, soient a, 6,c les valeurs du paramètre pour les trois sommets 0, b, c du triangle ; le côté ah passant par le point p, on a o6 = p; le côté ac passant par le point q, on a de même ac = q; le côté bc a pour équation

, ^ bc P (6 + c) Y = 0 ; si l’on remplace 6 et c par leurs valeurs - et -, l’équation devient

o‘a-l-pqP — (p-l-q)rtï = 0.

Si, entre cette équation et l’équation

2aa — (p+g)T = 0,

que l’on obtient en égalant à zéro la dérivée par rapport à a, ou élimine le paramètre variable a, on obtient l’équation de l’enveloppe de la droite 6e

ap4

ipq

Cette enveloppe est une conique qui touche la première aux points d et e.

Si l’on mène des tangentes 6 la conique proposée aux points a, b, c, on forme un triangle circonscrit a'b'c', dont deux sommets b' et c' glissent sur deux droites fixes P et Q, polaires des points p et q; la courbe décrite par le sommet a', pftle de la droite 6e, est la polaire réciproque de l’enveloppe ; c’est donc aussi une conique doublement tangente à la première suivant la ligne de.

EXERCICES

t" Étant données deux coniques dans un plan, les points qui ont les mêmes polaires par rapport aux deux courbes sont les points de concours des trois couples de sécantes communes, et ces polaires communes sont les trois diagonales du quadrilatère formé par les quatre tangentes communes aux deux courbes.

2° Sur deux droites fixes, 6 partir des points ob elles sont coupées par une sécante mobile passant par un point fixe, on porte des longueurs constantes, et on joint leurs extrémités; trouver l'enveloppe de la droite ainsi obtenue.

3° Les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes, tandis que deux sommets glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique. — Théorème corrélatif.

Les côtés d’un polygone de n côtés tournent autour de n points fixes, tandis que n — t sommets glissent sur n — < droites fixes, le n' somtnet décrit une conique. — Théorème corrélatif.

5° Deux côtés d'un triangle tournent autour de deux points fixes, tandis que le troisième côté reste tangent b une conique ; les deux sommets qui sont aux extrémités de ce côté glissent sur deux tangentes fixes de la conique; le troisième sommet décrit une conique. — Théorème corrélatif.

6° Un triangle est inscrit dans une conique, deux côtés passent par deux points fixes ou roulent sur deux coniques doublement tangentes 6 la première, l’enveloppe du troisième côté est une conique. — Théorème corrélatif.

7* Un polygone de n côtés est incrii dans une conique; n — 1 côtes rou-

THÉORIE DES POLES ET DES POLAIRES. agent sur des coniques doublement tangentes à la première ; l'enveloppe lu n» côté est une conique. — Théorème corrélatif.

8° Etant données deux coniques S et S', et deux tangentes à la conique 5', les six droites qui joignent deux à deux les quatre points oii ces tangentes coupent la conique S, sont deux è deux tangentes è une même conique passant par les points d'intersection des coniques S et S’. — Théorème corrélatif.

9** Étant données trois coniques ayant quatre points communs, un triangle inscrit dans l'une d'elles, a deux de ses côtés tangents respectivement aux deux autres, le troisième côté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.

1 0° Étant données n coniques ayant quatre points communs, un polygone de n côtés inscrit dans l'une d'elles, an — 1 de ses côtés tangents respectivement aux autres, le n’ coté enveloppe une conique. — Théorème corrélatif.

Un polygone, dans une de ses positions, est inscrit à une conique et circonscrit è une autre conique ; si l'on fait mouvoir les sommets sur la première conique, de manière que n — 1 côtés restent tangents à la seconde, le n* côté restera constamment à cette seconde conique.

Dans les théorèmes 8, 9, 10 et H, on peut remplacer les coniques qui ont quatre points communs par des coniques homothétiques ayant deux points communs, et en particulier par des cercles ayant deux è deux le même axe radical.

12° L’enveloppe des droites qui coupent deux coniques données suivant quatre points en proportion harmonique est une conique.

13° L’enveloppe de la polaire d'un point hxe par rapport à toutes les coniques qui passent par trois points donnés et qui sont tangentes à une droite donnée est une conique. — Théorème corrélatif.

14° On sait que les polaires d’un point p par rapport à toutes les coniques ayant quatre points communs, passent par un même point q; si le point P décrit une droite, le point q décrit une conique. — Théorème corrélatif.

15° Lorsque deux côtés d'un triangle inscrit dans une conique roulent sur deux courbes quelconques données, le troisième côté enveloppe une troisième courbe ; démontrer que les droites qui joignent les sommets du triangle aux points de contact des côtés opposés passent par un même point. — Théorème corrélatif.

16° Étant donné un hexagone inscrit dans une conique, on prend les points d'intersection des côtés opposés, puis les points d'intersection de chacune des trois diagonales avec les deux côtés opposés, les neuf points ainsi obtenus sont situés sur trois droites passant par un même point.

17° Étant donnée une conique S, ou mène une conique variable S' qui

coupe la première en deux points fixes et qui touche deux droites fixes dont le point de rencontre est situé sur la conique S; l’enveloppe de la droite qui passe par les deux autres points d’intersection des coniques S et S' est une conique. — Théorème corrélatif.

18° Un quadrilatère étant circonscrit à une conique, si on mène une tangente quelconque è la conique, on sait que le rapport du produit des distances de cette tangente à deux sommets opposés du quadrilatère au produit des distances de cette même tangente è deux autres sommets opposés est constant ; démontrer que ce rapport est égal au produit des distances des deux premiers sommets à l’un des fojers divisé par le produit des distances des deux autres sommets au même foyer.