CHAPITRE I

Constraetion de* eonrbea en coordonnée* rectiligne*.

32S — La conslruclion d’une courbe n’esl autre chose que la représentation graphique de la marche d’une fonction réelle d’une seule variable, lorsqu’on fait varier d’une manière continue cette variable. Si l’on a calculé les valeurs de ÿ qui répondent à diverses valeurs de x, on connaît un certain nombre de points de la courbe à construire. Mais ces points ne peuvent suffire, même pour un tracé grossier de la courbe; car on peut les réunir de bien des manières différentes; et, d’ailleurs, il peut arriver qu’entre deux ordonnées, même Irès-rapprochées, la courbe ait des branches infinies. 11 est donc indispensable de connaître préalablement, d’une manière générale, la marche de la fonction dont la courbe doit représenter les variations.

Lorsque l’équation est résolue par rapport à l’une des variables, y par exemple, on considère chacune des déterminations de y en particulier, et on examine entre quelles limites doit varier x pour que y reste réelle; soient a et d deux limites. Si la valeur de y reste finie dans cet intervalle, elle donne une branche finie de courbe; si la valeur de y devient infinie pour une ou plusieurs valeurs intermédiaires 6, c, ... de la variable, on a diverses branches infinies asymptotes aux droites qui correspondent aux valeùrs de x qui rendent y infinie; on subdivise alors l’intervalle de o à d en plusieurs autres; un premier de a à b, etc., de manière que dans chacun d’eux l’ordonnée ne devienne pas infinie. On examinera ensuite comment varie y

dans chacun des intervalles, par exemple, quand x croît de a à b. Quelquefois, on aperçoit immédiatement, d’après l’expression de y, comment varie cette quantité; mais le plus souvent, il n’en est pas ainsi ; dans ce cas, on a recours à la dérivée. On sait, en effet, que la variable x croissant à partir d’une certaine valeur, si la fonction reste finie, elle varie dans le même sens, tant que la dérivée conserve le même signe; elle croît, si la dérivée est positive; elle décroît si la dérivée est négative. Soient’ a, p, y, . . . les valeurs successives de x comprises entre a et b, pour lesquelles la dérivée change de signe. La variable X croissant de a à a, la dérivée conserve le même signe, par exemple, le signe +, la fonction croît; de a à la dérivée est négative et la fonction décroît, etc. Nous avons démontré que le coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque de la courbe est égal à la valeur de la dérivée en ce point. Ainsi le sens dans lequel varie l’ordonnée de la courbe est indiqué par le coefficient angulaire de la tangente.

Lorsque la dérivée change de signe, de positive devenant négative, l’ordonnée cesse de croître pour décroître ensuite; elle passe donc par une valeur maximum. Si, au contraire, la dérivée de négative devient positive, l’ordonnée cesse de décroître pour croître ensuite; elle passe donc par une valeur minimum. Il faut remarquer que ces mots maximum et mt- 7ïimum ne doivent pas être pris avec leur sens absolu; ils indiquent seulement la comparaison d’une valeur particulière de l’ordonnée avec les ordonnées voisines.

En général, la dérivée, restant finie et continue, change de signe eu passant par zéro, et par conséquent, les tangentes aux points dont les ordonnées ont des valeurs maxima et minima sont parallèles à l’axe OX. Il faut remarquer que toute valeur de X qui annule la dérivée ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum de l’ordonnée; on devra examiner si la dérivée change efi'eclivement de signe; mais, dans tous les cas, la tangente est parallèle à l’axe OX.

Exeufle. La strophoïde définie au n< 31 a pour équation

Quand x varie de 0 à — a, la valeur numérique de y augmente constamment de 0 à l’infloi ; on obtient de la sorte les deux branches infinies ON, ON' asymptotes à la droite HH' (fig. 22). Quand x varie de 0 à a, l'ordonnée y part de 0 pour revenir à 0, en conservant des valeurs finies ; elle commence donc par croître pour décroître ensuite, et, par conséquent, elle passe par ua maximum ; mais on ne voit pas si dans l'intervalle la fonction n'éprouve pas plusieurs alternatives de croissance et de décroissance. La valeur positive de y a pour dérivée

, — X* — ax -t- a*

Le numérateur s’annule pour deux valeurs de x, l’une positive x,, l’autre négative x,. Quand x varie de 0 à x,, la dérivée est positive, la fonction croît; de X, à a la dérivée est négative, la fonction décroît; l’ordonnée est

maximum pour la valenr x, = o-^ — s — » égale au plus grand segment

de la ligne a divisée en moyenne et extrême raison.

3'20 — On détermine souvent la tangente en certains points de la courbe, ou, ce qui est la même chose, certaines valeurs particulières de la dérivée, sans avoir recours à l’expression générale de cette dérivée. Considérons, par exemple, le point O de la strophoïde; joignons ce point à un point voisin M, ayant pour coordonnées x ely; le coefficient angulaire de la sécante

OM est égal au rapport on aura le coefficient angulaire de

la tangente au point O, en cherchant la limite de ce rapport lorsqu’on fait tendre x vers zéro. Or, on a

X V a->rX

quand X tend vers zéro, ce rapport a pour limite ±i. Les deux branches qui passent au point O ont pour tangentes en ce point les bissectrices des angles des axes. On obtiendrait la

tangente au point A en considérant le rapport — ce

rapport augmentant indéfiniment lorsque x tend vers a, la tangente au point A est parallèle à l’axe OY.

3S7 — Exebplb II. Proposons-nous d’éludier les courbes représentées par l’équation y»= Aœ*-t-Bx*-|-Cx-+-D; on démontre que ces courbes

peuvent reproduire par la perspective toutes les courbes du troisième degré. On supposera le coefdcient A positif, sans quoi on changerait le sens de l'axe des x. Il y a plusieurs cas à considérer : 4° le polynôme du troisième degré a ses trois racines réelles et inégales; appelons a, b, c ces racines rangées par ordre de grandeur croissante ; on a

I. 'ordonnée est imaginaire quand x varie de — oo ha; réelle quand x varie de a h 6; imaginaire, quand x varie de b h c; réelle, quand Xvvarie de c h -h » . La courbe se compose d’une boucle fermée et d’une branche inlinic (Gg. 489). 2<> Lorsque les deux racines a et b deviennent égales, la boucle se réduit h un point a (6g. 490). 3<> Lorsque les deux racines b et r

Fig. 189. Fig. 190.

sont égales, la boucle se joint h la branche infinie en b (6g. 4 94). 4“ Lorsque les trois racines a, b, c sont égales, la courbe présente un point de rebroussement en O (fig. 4 92). 3<> EnGn, si le polynôme du troisième degré n’a qu’une racine réelle a, la courbe a la forme indiquée dans la fig. 4 93.

Fig. 191. Fig. 192. Fig. 193.

Le coefücient angulaire de la tangente est donné par la formule

3Aa:*-t-aBÆ-|-C 3Aa;*-|-2BÆ-f- C

^ “ 2 yAx’-l- Bx* Ca: H- 1) ~ 2ÿ

Dans le premier cas, le numérateur, qui est la dérivée du polynôme du troisième degré, s'annule pour une valeur a' comprise entre a et b et pour une valeur b' comprise entre b et c; h la première correspond le maximum de l’ordonnée sur la boucle. Dans- le troisième cas, le numérateur s’annule

pour la racine double b; le dénominateur s'annulant aussi, la formule se présente sous la forme ^ et ne détermine plus les tangentes au point double b ; on les obtiendra en cherchant la limite (b — a) du rapport - quand x tend vers b.

3®8— Lorsque l’équation supposée algébrique n’est pas résolue, soit parce que celte résolution n’est pas possible, soit parce que l’on juge inutile de l’effectuer, on peut quelquefois, en s’appuyant sur les théorèmes concernant les racines des équations, construire la courbe.

On aperçoit immédiatement certaines propriétés de la courbe à l’inspection de l’équation; lorsque l’équation ne renferme que des termes qui sont tous de degrés pairs, ou tous de degrés impairs, il est clair que, si elle est Térifiée par x = x, y = p, elle sera aussi vérifiée par x= — a, y= — P; or, les deux points (a, P), ( — a, — p) sont placés symétriquement par rapport à l’origine; donc ce point est centre de la courbe. Si l’équation ne contient que des puissances paires de l’une des variables, y par exemple, les valeurs réelles de y, qui correspondent à une même valeur de x, sont deux à deux égales et de signes contraires; lorsque les axes sont rectangulaires, on en conclut que les points du lieu sont placés symétriquement par rapport à la droite OX, qui est un axe de la courbe.

Lorsque l’équation de la courbe ne change pas parle changement de a? en y et de y en æ, si l’équation est vérifiée par x = ct, y = p, elle sera vérifiée également par x=^, y = a; les deux points correspondants sont placés symétriquement par rapport à la bissectrice de l’angle YOX, qui est, dans ce cas, un axe de la courbe. On voit de même que, si l’équation ne change pas par le changement de a; en — y et de y en — x, la bissectrice de l’angle YOX' est un axe.

Soit f{X) y) =o l’équation de la courbe; on sait que la dé-

fl (iC î/]

rivée y' est donnée parla formule y'=— L’expres-

sion de y' contient à la fois les deux variables x et y, elle donne le coefficient angulaire de la tangente en tout point

dont on connaît les deux coordonnées^ excepté dans le cas ou les deux dérivées partielles s’annuleraient à la fois, ^

339 — Exemple 111. Construire le lieu des points tels que le produit de leurs distances à deux points fixes F, F' soit égal à un nombre donné.

Prenons pour origine le milieu O de la droite FF', cette droite pour aie des X, une perpendiculaire pour axe des y; appelons 2c la distance FF', a* te produit constant, l'équation du lieu est

Cette équation, ne renfermant que des puissances paires de chacune des variables, chacun des axes est un axe de symétrie de la courbe, et l'origine est un centre. En considérant y* comme l'inconnue, l’équation (1) est du second degré, le binOme B*— 4AC se réduit ici à 4(4c*x*-(-a‘), quantité essentiellement positive, les racines sont donc toujours réelles. Lorsque le dernier terme (jc‘ — c*)* — est positif, les valeurs de y* ont le même signe, et comme leur somme — 2(æ’-(-c’) est toujours négative, les deux valeurs de y* sont négatives et les quatre valeurs de y imaginaires. Pour que l’équation (1) ait des racines réelles, il faut donc que l’on ait (a;*— c’)* — a* < 0, ou (x’— c’ — a’) (x’— c*4-a*) < 0, et, par conséquent, x’ < a’-t- c* et X* > c* — a*. Alors une des valeurs de y* est positive, l’autre négative.

Prenons OA =OA'= -t-c* ; la courbe est comprise entre les paral-

lèles A l’axe des y menées par les points A et A'. La seconde condition exige que l’on distingue plusieurs cas.

I* O < c. Prenons OB = OB' = \/c* — a* et par les points B et B’ menons des parallèles à OY (Gg. 194), la courbe se compose de deux parties

comprises, l’une entre les parallèles menées par les points B et A, l’autre entre les parallèles menées par les points B' et A'. Quand on donne k x l’une des valeurs OB ou OA, l’une des valeurs de y* est nulle, l’autre négative; X croissant de OB i OA, la valeur de y', qui d’abord est nulle, de-

Fig. 194.

vient positive ets’annule

de nouyeau; on obtient ainsi une courbe fermée BCAD. Les valeurs négatives de X donnent une seconde courbe 6’C'A'D', égale à la précédente.

Le coefticient angulaire de la tangente est déterminé par la formule

Aux points A et B, y est nulle et y' infinie, la tangente est parallèle l'axe OY. Le numérateur de y' devient nul, quand on a x*4-y* = c*. Du point O comme centre, avec OF pour rayon, décrivons un cercle ; ce cercle coupe la courbe en quatre points C, D, C', D', donnés par les formules

Je*'

Comme l’arc BC est intérieur au cercle, en l’un quelconque des points de cet arc, la fonction x* + y* — c* a une valeur négative et y’ est positive. Pour les points de l’arc C.A, le facteur x* + y* — c’ est positif et y' négative. Ainsi, de B en C l’ordonnée croit, 'et de C en A elle décroît; l’ordonnée du point C est maximum.

2° a = c. La seconde condition est satisfaite, quelle que soit x; x peut varier de — c\lï à cyfî. Quand x varie de 0 à cV^, la valeur positive

dey’ part de zéro et redevient nulle; on a une courbe fermée OCADO (fig. 195) qui passe à l’origine; lesvaleursnégaüves de X donnent une X courbe symétrique delà précédente par rapport ù OY. Le cercle de rayon OF coupe la courbe en j-jg J95 quatre points, dont

les ordonnées ont une valeur numérique ^ maximum, l’abscisse de ces

points a pour valeur absolue —5—. Cette courbe se nomme lemnücate.

A l’origine, la valeur de y' se présente sous la forme il est facile de concevoir qu’il en est ainsi aux points multiples d’une courbe algébrique

quelconque. En effet, la valeur de y’ est donnée par la formule

fx{X, y)

Or, f[x, y) étant un polynôme entier par rapport aux variables x et y, les dérivées partielles p, {x, y), ^ (x, y) sont aussi des polynômes entiers par rapport aux mêmes variables. Si ces polynômes ne devenaient pas nuis, lorsqu’on y remplace x et y par les coordonnées du point multiple, y' aurait en ce point une valeur unique, tandis qu’elle doit avoir autant de valeurs différentes qu'il y a de branches qui passent au point multiple. Dans le cas actuel, l’équation étant bicarrée peut être résolue par rapport à y; à chaque valeur de y correspond une dérivée qui a une valeur déterminée, quand on y remplace x par zéro. Cette valeur de la dérivée est, ainsi que nous l’avons

remarqué au ii® 326, la limite du rapport lorsque x tend vers zéro.

Ün peut obtenir plus simplement la limite de ce rapport sans résoudre l'é-

quation. Posons ^ = t, ou y = tr; en substituant dans l’équation (I), il vient

Lorsque x est très-petit, l’une des valeurs de P est voisine de runiié, l’autre est négative et très-grande; en se bornant aux valeurs réelles

de y, on a lim ^ 1 . Les tangentes au point O sont les bissectrices des

angles des axes.

3° a > c. La seconde condition est encore satisfaite quelle que soit x;x , Y peut donc varier de — Vc*-+-a’ »

^ , Pour X = 0, la va-

leur positive de y’ est a’ — r*.

Prenons sur l'axe des y

OB = OB'=Va* — c*,

la courbe passe par les deux points B et B' (fig. <96). Si l’on fait varier X de 0 è \/c*-t- a’, y’ part de O* — c’ et devient nul ; le lieu est une courbe fermée qui a pour sommets les points A, A', B, B'. Pour que le cercle coupe la courbe, il faut que Ion ait oi> c\/i. Lorsque celle condiiion est satisfaite, l’ordonnée croit de B en C et diminue de C en

Fig. 196.

l'ordonnée du point 6 est minimum, celle du point C maximum.

Fig. 197.

Si, au contraire, on a le cercle est intérieur à la courbe, dont l’ordonnée diminue de B eu A; l'ordonnée du point B est maximum. Dans ce cas on donne à ï la courbe le nom d'ovale de Cassini. La ligure 1 97 suppose que a est égal à c \/ï.

S30 — Exewlb IV. Construire la courbe

(i) 2y^ — 5irt/'-l-x’‘ = o.

Cette équation, étant du cinquième degré par rapport à chacune des variables, ne peut être résolue par rapport à aucune d’elles, elle ne renferme que des termes de degrés impairs; donc l'origine est centre de la courbe. Examinons combien l’équation, dans laquelle on considère y comme l'inconnue, a de racines réelles pour les diverses valeurs attribuées à x.

Supposons d’abord x positive, l'équation (1) aura au plus deux racines réelles positives, puisque son premier membre n'a que deux variations. La dérivée du premier membre par rapport à y est lOy (y® — x). Cette déri-

vée est négative depuis y = 0 jusqu'à y = y/x, positive depuis cette valeur jusqu’à l’infini. Le premier membre qui est positif pour y = 0, décroît.

lorsque y varie de 0 à y x, et croit ensuite indéfiniment. L’équation a donc deux racines positives, ou elle n’en a pas, suivant que la valeur y = y/x rend le premier membre négatif ou positif; c’est-à-dire suivant que Ton a x’" < 27, ou x'"> 27. Si l’on change y eu — y, le premier membre présente une variation et une seule ; donc l’équation a une racine négative et une seule.

Pourx==0, les cinq racines de l’équation (1) sont nulles; x croissant

de 0 à y 27, l’équation a deux racines positives et une racine négative;

lorsque x atteint la valeur y^27, les deux racines positives deviennent égales,

puisqu'elles annulent la dérivée. Quand. r 10/ —

dépasse y 27, l'équation n’a plus qu'une racine réelle qui est négative. Les deux racines positives donnent une boucle OABO (fig. 198), comprise dans l'angle \'0X, et la racine négative une branche infinie OC placée dans l’angle

Y'OX. Aux valeurs négatives de x correspondent une boucle OA’B'O et

une branche infinie OC', symétriques des précédentes par rapport au centre.

La valeur maximum de l’abscisse pour la boucle OABO est y 27, elle correspond à un point A pour lequel la tangente est parallèle à OY, puisque les coordonnées de ce point annulent f^{x, y). En considérant y comme variable arbitraire, on trouve que le maximum de y pour la même boucle

est yT ; ce maximum donne on point B, pour lequel la tangente est parallèle à OX.

La méthode précédente de discussion est applicable toutes les fois que l'équation ne contient que trois termes; car on sait toujours déterminer le nombre des racines réelles d'une équation trinôme à une seule inconnue.

EMPLOI d’une variable AUXILIAIRE.

331 — Lorsqu’il est impossible de résoudre l’équation par rapport à l’une des variables x ou y, on peut dans certains cas exprimer les deux coordonnées à l’aide d’une variable auxiliaire t; et, en suivant les variations simultanées de x et y, lorsque t varie entre les limites qui rendent ces quantités réelles, tracer la courbe.

Si l’on considère y comme une fonction de x, et x comme une fonction de t, on a, en prenant la dérivée de y par rapport à t, d’après le théorème des fonctions de fonctions *,

D,y = D,yxD,a;;

on en déduit la formule

qui donne le coefficient angulaire de la tangente au point qui correspond à une valeur quelconque de t. Les valeurs de t qui annulent D,y donnent les points pour lesquels la tangente est parallèle à OX, et les valeurs qui annulent D,a? les points pour lesquels la tangente est parallèle à OY.

' Pour désigner la dérivée d'une fonction, on emploie fréquemment la lettre 0, initiale da mot dérivée, et on indique la variable par rapport à laquelle on prend la dérivée en écrivant cette variable comme un indice au-dessous de la lettre D et un peu à droite. Ainsi Dr a:, et D/y indiquent les dérivées des fonctions x et y par rapport à la variable t, Dxy la dérivée de y par rapport é x.

Exemple V. Construire la courbe y* — y’x + a^ — 2x*y — 0.

Si l’on pose y = Ix, on a æ = , y = ix= — * el l’on

construit la courbe en faisant varier (de — oo à + » . Pour suivre les variations de x et de y, prenons les dérivées

Les numérateurs ne s'annulant pour aucune valeur réelle de ( ne changent ry pas de signe. Les valeurs de X et de y