X. // ^ deviennent nulles pour (=-, infinies

po®!" 1 = 0, ou t=\. Si l’on fait va-

— 00 à 0, X est négatif et

décroît de 0 à — oo , y est positif et croît de 0 à l’infini ; on obtient ainsi la branche infinie OA (fig. 1 99) . La va-

// riable ( allant de 0 h -> X et y devien-

Fig. 199. nent positifs et décroissent de oo h 0,

ce qui donne la branche infinie OB. La variable ( allant de ^ à I , x et y

sont négatifs et décroissent de 0 h — oo, on a la branche infinie ÜC. Le coefficient angulaire de la tangente en O à la branche BOC est Enfin, si

t varie de 4 II oo , x et y deviennent positifs et décroissent de oo à 0, on obtient la branche infinie OD.

Lorsque l’équation entre x et y ne renferme que deux groupes de termes, l’un du degré tn, l’autre du degré m — 4 , si l’on prend comme nous venons

de le faire, pour variable auxiliaire le rapport ^ = L ies cordonnées x et

IJ sont des fonctions rationnelles de cette variable. Lorsque l’équation contient trois groupes de termes, le premier du degré m, le second du degré m — 1 , le troisième du degré m — 2, en conservant la même variable auxiliaire, les coordonnées s’obtiennent par la résolution d’une équation du second degré, et on peut encore suivre leurs variations simultanées.

Exemple VI. Construire de la courbe x*y^ — xy — x — 2 = 0.

CP , ‘+2 C-t

Si 1 on pose xy = t, on a x = jTZI7’ “ ï+2'

Examinons comment varient x et y, lorsqu’on fait varier la variable agxiliairc (de — « è -f- oo . Pour cela prenons les dérivées des deux fonc-

lions, on a

D.^ = 771 TTT— ’ D,y=-

La valeur de D,x s'annule pour deux valeurs a et b de l comprises, la

première entre — j et — 2, la seconde entre — 1 et 0. La valeur D,y

s'annule pour trois valeurs c, d, e de t, comprises, la première entre — 5

et — 2, la seconde entre — 2 et 0 et la troisième entre 0 et 1. On reconnaît facilement, en outre, que l’on a a<c, d <6.

Cela posé, considérons la suite des quantités

rangées par ordre de grandeur. Si l'on fait varier t de — 00 à a, m est négatif, part de 0 et décroît; y est positif, part de i’infini et décroît également; on a la brandie AB asymptote b l’axe OY (Gg. 200). La variable (

allant de a à c, x est négatif et croissant, y positif et décroissant; branche BC. La variable t allant de c i — 2, X est négatif et croit jusqu’à 0; y positif et croît jusqu’à l’intini ; branche Cl. La variable t allant de — 2 à — 1 , x croît de 0 à 00 , y croît de — 00 à 0; double branche inGnie DE, asymptote à OY' et à OX. La variable t allant de — - < à d, X part de — » et croit, y part de 0 et croit; braurhe inGnie FG, asymptote à OX’. La variable t allant de d à b, x continue à croître, et y décroit en restant positif; branche GH. La variable l allant de b à e, X et y décroissent; branche IIK, qui coupent OX' en un point dont l’abscisse — 2 correspond à t = 0. La variable ( allant de e à + 4 , x décroît, y augmente; branche inGnie KL, asymptote à OX'. EnGn, t variant de -t- 1 à + 00 , X décroît de 00 à 0, et y croit de 0 à 00 ; double branche inGnie HN, asymptote à OX et OY.

Les tangentes aux points C, G, K, qui correspondent aux valeurs c, d, e de t qui annulent D,y, sont parallèles à OX; les tangentes aux points B et H sont parallèles à l’axe OY.