CHAPITRE IL

Convexité et concavité.

3319 — Soit AB un arc de courbe correspondant à une détermination de y, et aux valeurs de x comprises entre a et h; nous supposons que dans cet intervalle la dérivée seconde y" conserve le môme signe, par exemple, reste positive. Menons la tangente RS en un point quelconque M de cet arc, ayant pour abscisse x,; désignons par y, la valeur de la dérivée en ce point, ou le coefficient angulaire de la tangente, et par Y l’ordonnée d’un point quelconque de cette droite ; la différence y — Y s’annule pour x = x„, et il en est de même de sa dérivée if — Y' ou y' — y'o (fig- 201). L’abscisse x croissant de a en b, et la dérivée y" de la différence y' — Uo positive, la fonction y' — y'o va en croissant; comme elle s’annule pour X = x„ elle est négative de a à x„ et positive de x„ à b. Considérons maintenant la fonction y— Y, qui admet |)our dérivée j/ — yô; quand x varie de a à Fig. 201. la dérivée étant négative, la fonction

décroît; comme elle s’annule pour x = x„, elle était positive auparavant; x variant de x, à b, la dérivée est positive et la fonction croît; comme elle s’annule pour x=x„, elle est aussi positive de x„ à b. Il en résulte que la différence y — Y reste positive dans l’intervalle de a à On conclut de là que l’arc de courbe AB est situé tout entier d’un même côté de chacune de ses tangentes; c’est un arc convexe. 11 en serait de même si la dérivée seconde restait négative; mais la différence y — Y étant négative, l’arc serait situé tout entier de l’autre côté de la tangente. Il est facile de distinguer ces deux côtés; par le point M menons une parallèle MY, à l’axe OY, et dans la direction des y positifs ; dans le premier cas, l’arc est situé du même côté de la tangente que la demi-droite MY,; dans le second cas, il est de l’autre côté. Dans le premier cas, on dit que l’arc

AB tourne sa concavité dans la direction MY,; dans le second cas, dans la direction opposée.

On sait que le signe de y” indique le sens de la variation de y' quand x croît. Si donc on imagine que le point M parcoure Tare AB, le coefficient angulaire ira en croissant, si y" est positive, et, au contraire, en décroissant, si y" est négative.

333— On appelle points d’inflexion les points où la concavité change de sens, c’est-à-dire les points où la dérivée seconde change de signe. En général, la quantité y", étant finie et continue, change de signe en passant par zéro. Supposons que y" change de signe pour x = en passant par zéro, on verra facilement que la dérivée première 1/ — y{, ne change pas de signe, mais que la fonction y — Y change de signe; de sorte

qu’en ce point la courhe passe d’un côté à l’autre de la tangente.

Si par le point d’inflexion M (fig. 202) on mène une sécante voisine de la tangente MT, cette sécante coupera la courbe en deux points M' et M" voisins de M; la tangente MT est la limite Fig. 20-2. d’une sécante passant par trois points

voisins M", M, M’, quand les deux points M" et M' tendent vers le point M.

334 — Exemple I. Sinussoïde. Construire la courbe y = sinx. Quand X croît de 0 à 71, l’ordonnée est positive ; elle part de 0 pour revenir à 0, ce qui donne l’arc 0.\C (fig. 203) symétrique par rapport à l’ordonnée qui

obtient l’arc CBO' égal au premier. De à in, l'ordonnée reprend les mêmes -valeurs que de 0 à de même de in à 6n, etc. Ainsi la courbe se compose d’une infinité d'ondulations égaies.

Le coefficient angulaire de la tangente est y' = cosx; à l’origine, y' = 1 , la tangente est la bissectrice de l’angle YOX. Au point C, y' — — .1, la

tangente est parallèle à l’autre bissectrice. Pour x la dérivée s’annule et de positive devient négative; l'ordonnée du point A est maximum.

■JC

Pour x=3-, la dérivée s'annule également, de négative devenant posi-

tive ; l’ordonnée du point 6 est minimum.

Quand x varie de 0 à «, la dérivée seconde y"— — sinx est négative et la courbe tourne sa concavité vers les y négatifs; de 7t à la dérivée seconde est positive et la courbe tourne sa concavité vers les y positifs; le point C est un point d’infiexion.

Il est à remarquer que cette courbe a une infinité de centres, situés à égale distance les uns des autres sur l’axe X'X, les points O, C, O',... dont les abscisses sont les multiples de -;r. Chacun d’eux est un point d'inflexion.

335 — Exemple II. Construire la courbe (y — x’)* — x® = 0, ou

Les valeurs de y ne sont réelles que lorsque x est positif. Prenons d’abord

le signe + devant le radical; la fonction y = x>-|-x* augmente de 0 à l’in-

fini, quand x varie de 0 à oo . La dérivée y' = 2x-+- -x* part de zéro et

augmente aussi constamment, on a donc une branche infinie OD tangente en O à l’axe OX et qui tourne sa concavité vers les y positifs (fig. 204).

Prenons maintenant le signe — devant le radical ; la valeur de y est positive de 0 à 1 , et négative au delà. Portons sur OX une longueur OA égale à l’unité, la courbe passe en

A\"x A. La dérivée y' = 2x — ^ x*, nulle au point O, est positive tant que x reste moindre que

et négative quand x dépasse ce nombre; l’ordonnée MP, qui corres-

pond à ^ est maximnm, et la tangente en M est parallèle à OX. La déri-

vée seconde 2 ÿ" positive depuis 0 jusqu’à > elle est né-

gaiive au delà; le point N, qui correspond à l’abscisse est un point

(l’inQexIon; de 0 en N, la concavité est tournée vers*/ positifs; au delà, die est tournée vers les y négatifs.

Deux branches de la courbe sont tangentes au point 0 à la droite OX, sans être la continuation l’une de l'autre ; les points qui offrent cette particularité se nomment points de rebroussement. Dans celte courbe, les deut branches sont du même côté de la tangente. En considérant la courbe (y — x'y — as* = 0, on aurait deux branches situées de part et d’autre de la tangente ; la cissoïde présente à son sommet A (fig. 20) un rebroussement de cette sorte.

336 — Exeuple 111. Soit la courbe

suppose que

a désigne une ligne donnée; alors l'équation est homogène et définit une courbe, à laquelle on a donné le nom de chaînette, parce que c’est la courbe que forme un fil flexible pesant, dont les extrémités sont attachées à deux points fixes. '

L’équation donne des valeurs de y égales pour deux valeurs de x égales et de signes contraires, la droite OY est un axe de la courbe. Quand x

vurie de 0 à 00 , le terme e“ augmente, mais le terme e “ diminue; pour savoir comment varie y, prenons la dérivée. On a

Cette dérivée est positive pour toutes les valeurs positives de x; donc

quand x croit de 0 à oo , la valeur de y augmente constamment de a à oo , ce qui donne une branche infinie BC (flg. 205) ; on obtient la branche BC' symétrique par rapport à OY en donnant à x des valeurs négatives.

La dérivée seconde restant positive quand X varie de — oo à + oo , la courbe tourne sa concavité vers les y positifs.

Ffg. 205.

337— Exemple IV. Construire la courbe y = ê*. Donnons à x une valeur positive trés>petite, y est positif et très-grand; x croissant de 0 à + 00 , y décroît constamment de oo à 1 ; ce qui donne une branche AC (flg. 206), asymptote d’une part à OY, d’autre part à la droite G'G menée parallèlement à OX et à une distance de cette droite égale à l’unité. Quand on donne à x une valeur négative très-petite numériquement, y est positif et très-petit; x variant de 0 à — oo , y croit constamment de 0 à 1; «n a ainsi une branche OD partant de l’origine et asymptote à la droite GG'.

Celte courbe présente une parlicularité que nous n’avons pas encore rencontrée ; la branche DO s'arrête brusquement au point O; on donne aux points de cette espèce le nom de points d’arrêt.

Pour avoir le sens de la concavité.

Fig. 206.

011 a y' = — ij e*. Lorsque x varie de

0 à 00 , les deux facteurs — ; et e‘ di-

minuent ; à cause du signe — , y' augmente; la concavité de la branche AC est tournée vers les y positifs; x variant de — <x> à 0, le facteur ^ aug-

mente, le facteur e* diminue; on ne voit pas immédiatement comment va-

rie y'; la dérivée seconde va nous l’apprendre. On a y" = e*.

Quand x varie de — oo à — 5* la dérivée seconde est négative; prenons

OP égal à - et soit M le point correspondant de la courbe ; l’arc DM a sa

concavité dirigée vers les y négatifs; x croissant de — - à 0, y* est posi-

tive, l’arc MO est concave vers les y positifs et le point M est un point d'in- IlexioD.

3 3 S— (Considérons le cas où l’équation de la courbe

n’est résolue par rapport à aucune des variables x et y; la dérivée y' est donnée par l'équation

(2) fl {x, y) -1- fl {x, y)i/ = o.

Puisque y et y' sont deux fonctions de x; le premier membre de l’équation (2) est une fonction composée de la variable indépendante de x; cette fonction a pour dérivée

comme elle est constamment nulle, sa dérivée est aussi nulle, et Ton a l’équation

qui donne la valeur de ÿ'. Si l’on remplace, dans celle équalion, y' par sa valeur Urée de l’équation (2), il vient

C’est à l’aide de cette formule que l’on détermine le sens de la concavité, ainsi que les points d’inflexion.

339 — Appliquons cette formule It la courbe déGnie n* 3S9. L’équaiion de cette courbe peut se mettre sous la forme

On en déduit

f],= x[x'-\-y' — c'^), /î = y (x*H-ÿ’4-c’), y*— c*) -H 2a;’, --- 2xy, Ç = (a;’-l-y*+ c=) + 2y'.

Si l'on substitue ces valeurs dans la formule précédente, on obtient, après avoir réduit en tenant compte de l’équation (1),

Pour chaque portion de la courbe comprise dans l'un des angles des axes des coordonnées, le dénominateur conserve le même signe; U' valeur de y' ne peut donc changer de signe que lorsque le numérateur passe par zéro. Les coordonnées des points d’inQexion doivent donc vériGer à la foisTéquation (1) et l'équation

on en déduit

Dans le premier cas, lorsque a est plus petit que c,. le» valeurs de x et de y données par les équations (1) et (3) étant imagina'u«s,, le numérateur de y" a le même signe pour teus les points de l'arc BA;,oa.vériGe aisément qu’il est négatif près des points B et A, la concavité de cet arc est dirigée vers les y négatifs. Dans le second cas, a = e, le numérateur devient nul au point O seulement; il est positif de O en A, et la concavité de l’arc OA est dirigée vers les y négatifs. L’arc A'D'OCA présente au point O un point d’inflexion. Dans le troisième cas, on a a > c; pour que les valeurs de x et de y soient réelles, on doit avoir en même temps or< c yj. Lorsque a est

plus grand que c^i, le numérateur est négatîT en tous les poiiils de l'arc CA, et la concavité tournée vers les y négalirs; si a est plus petit que c le numérateur s'annule pour un certain point G situé entre B et C ; de B en G, il a le même signe qu'au point B; il est positif et la concavité est tournée vers lest/ positifs; de G en A le numérateur a le même signe qu'au point A; il est négatif, et la concavité dirigée du côté des y négatifs. Le point G est un point d'inflexion.