REMARQUES SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES

340 — Soit f {x, ÿ) =o une équation algébrique et entière du degré n en ÿ; à chaque valeur de x correspondent n valeurs (le y qui, en général, sont différentes les unes des autres; on démontre que, quand x varie d’une manière continue, chacune de ces valeurs varie aussi d’une manière continue ; nous admettrons ce théorème comme nous l’avons fait jusqu’à présent. Lorsque l’équation est irréductible, elle n’admet de racines multiples que pour un nombre limité de valeurs de x ; parmi ces valeurs de æ, considérons seulement celles qui sont réelles et supposons-les rangées par ordre de grandeur. Soient a et 6 deux valeurs consécutives; quand x variera de a à 6, le nombre des valeurs réelles de y restera le même; car si une racine imaginaire devenait réelle, la racine conjuguée deviendrait aussi réelle, et, au moment de la transition, les deux racines seraient égales; on obtient ainsi, dans l’intervalle considéré, un certain nombre de branches réelles distinctes et n’ayant aucun point commun. Quand x passe par la valeur a, il peut arriver qu’une couple de racines, de réelles deviennent imaginaires ou inversement; au point qui correspond à la valeur a et à la racine double réelle, commencent ou finissent dans ce cas deux branches de courbes.

Parmi les valeurs réelles de y qui correspondent à une même valeur x^ de x, considérons-en une y^ qui soit racine simple ; si l’on fait varier x de æ, — h à. h, h étant suffisamment petit, cette valeur de y restera réelle sans devenir égale à une autre, et donnera naissance à une branche réelle.

Considérons maintenant une valeur x = b k laquelle corresponde une valeur multiple y^ d’ordre p; marquons le point

M dont les coordonnées sont x = b, y = y^; parmi les p valeurs de y qui deviennent égales à y^ pour x = 6, il y en a un certain nombre qui restent réelles, quand x varie de a et b, et un certain nombre qui restent imaginaires; le nombre de ces dernières étant pair, le nombre des racines réelles est p—n (q pouvant être nul). De même, quand x varie de 6 à c, le nombre des valeurs réelles de y qui partent de la valeur y, pour x = 6 est p — aq''; de sorte que le nombre total des branches de courbe qui partent du point M dans un sens ou dans l’autre est le nombre pair zp — aq — aq'.

341 — Déterminons actuellement les tangentes au point M; transportons en ce point l’origine des coordonnées, et posons ensuite y = tx; nous aurons une équation <f{x,t) = o, qui donnera les coefficients angulaires des sécantes menées du point M aux points où la courbe est coupée par uneparallèleà l’axe des y. Supposons que l’on construise une seconde courbe dont l’ordonnée soit t; appelons l’une dés valeurs réelles de t pour X = O, et soit N le point correspondant de la seconde courbe; à toute branche réelle de la seconde courbe passant par le point N correspond une branche réelle de la première courbe passant par le point M et tangente à la droite y = Puisque le nombre des branches de la seconde courbe qui parlent du point N est pair, on en conclut que le nombre des branches de la première courbe qui partent du point M et qui sont tangentes à la même droite y= t^x est aussi pair.

Il résulte de ce qui précède qu’une courbe algébrique ne peut pas présenter de point d’arrêt (n® 337). i’® P®ut pas

présenter non plus de point saillant ou anguleux; on nomme point anguleux un point d’où partent deux branches tangentes à deux droites différentes.

34!9 — Lorsqu’on transporte l’origine des coordonnées en un point M d’une courbe algébrique, l’équation prend la forme (i) (Ax-i-By)-t-(Cx*-t-Dxy + Ey’)+ ...=o, ou, en coordonnées polaires,

( 2) ( Acosm -f- Bsi n w) p+(Ccos*<i>4-Dsin<.>cos<«) +Esi n*ü))p*-h . . . = o, Supposons d’abord que Tun au moins des deux coefficients A

DES ASYMPTOTES

et B soit différent de zéro; si par le point M on mène une sécante quelconque, l’équation (2) donnera les points où cette sécante rencontre la courbe; une seule valeur de p étant nulle, quelle que soit w, on dit que le point M est un point simple. Pour la valeur de o donnée par l’équation A cos w -h B sin w = o, une seconde racine est nulle, et la sécante devient tangente.

Lorsque les deux coefficients A et B sont nuis, sans que les trois suivants le soient, deux valeurs de p sont nulles, et l’on dit que le point M est un point double. 11 y a plusieurs sortes de points doubles : i® Si les deux valeurs de tangto déduites de l’équation Ccos’td-i-DsintacoswH-Esin*w = o sont réelles et inégales, on a deux branches qui se croisent au point double et qui sont tangentes à des droites différentes (fig. 191); 2® si cette équation a ses deux racines imaginaires, le point M est un point isolé (fig. igo).