CHAPITRE III

Aajmptotes.

343 —Lorsqu’une courbe a une branche i nfin ie MN (fig. 207),

il peut arriver que la distance MH d’un point M de cette courbe à une droite CD tende vers zéro, lorsque le point M s’éloigne indéfiniment; dans ce cas, la droite CD est dite asymptote de la branche de courbe.

Considérons la différence MR entre les ordonnées de la courbe et de la droite, qui correspondent à une même abscisse, et désignons par p l’angle de la droite CD avec l’axe des

ÿ, on a MR = on voit que, si l’une des quantités MH et

Slu

MR tend vers zéro, il en est de même de la seconde. On peut donc définir l’asymptote une droite telle que la différence des ordonnées de la courbe et de la droite ait pour limite zéro quand x augmente indéfiniment.

On ne peut pas transformer ainsi la définition lorsque Tangle jï est nul, c’est-à-dire quand l’asymptote est parallèle à l’axe des y. Dans ce cas, si l’on mène la droite MR (fig. 208) parallèle à Taxe OX, la droite MR tend vers zéro, quand l’ordonnée croît indéfiniment. Si l’on appelle a l’abscisse de la droite CD, l'abscisse d’un point M de la branche MN tend vers a quand y aug- Fig. 808. mente indéfiniment, ou, inversement y croît au delà de toute limite, lorsque x tend vers a.

ASYMPTOTES PARALLÈLES A l’aXE DES y.

344 — D’après ce qui précède, on obtiendra les asymptotes de celte espèce en cherchant les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Lorsque l’équation de la courbe est résolue par rapport à y, on aperçoit en général immédiatement ces valeurs à l’inspection de la valeur de y; nous pouvons citer comme exemples la cissoïde et la strophoïde, construites aux n“* 28 et 3i. Quand l’équation de la courbe est algébrique, mais non résolue par rapport à y, on procède de la manière suivante. Soit m le degré de l’équation, n le plus haut exposant de y, on peut écrire l’équation sous la forme

9 (as) r + (æ) y"-* ■+■ f (x) y’'-* -f- . . . = o, ç, •/, ... désignant des polynômes en x, de degrés au plus égaux à ni — n, m — n-f-i, m — n-t-2, ..., et, après avoir divisé par y”,

Si, lorsque y augmente indéfiniment, x tend vers une limite finie a, pour une couple de valeurs dans lequel y est très-grand et X voisin de a, tous les termes, à partir du second, étant très-petits, on en conclut que l’abscisse a doit annuler lepre-

DES ASYMPTOTES. 311

mier terme. Ainsi les asymptotes parallèles à l’axe des y sont déterminées par les racines réelles de l’équation

Lorsque x tend vers a, l'une au moins des n valeurs de -<

données par l’équation (i), tend vers zéro, puisque le produit des racines est très-petit. Si a annule ç {x) sans annuler (x),

une seule des valeurs de - tend vers zéro, et cette valeur est

nécessairement réelle; car les racines imaginaires étant deux à deux conjuguées, quand l’une d’elles tend vers zéro, il en

est de même de la seconde. La valeur de - considérée chan-

géra ou ne changera pas de signe, quand x passera par a, suivant que a sera racine d’ordre impair ou d’ordre pair de l’équation (2); la droite indéfinie sera toujours asymptote à deux branches de courbe correspondant, l’une à des valeurs de X plus petites que a, l’autre à des valeurs plus grandes. Mais lorsque (x) devient nul en même temps que <p (x), il peut

y avoir un nombre pair de valeurs imaginaires de i qui tendent vers zéro, lorsque x s’approche de a, et la droite peut n’ôtre asymptote d’aucune branche réelle; ce cas demanderait une discussion plus approfondie; on voit aisément que, dans tous les cas, une racine simple de l’équation <p(x) =0 donne une asymptote.

345 — Exemple I. Soit la courbe déGuie par l’équation

qui, ordonnée, s'écrit

(x*-4-x* — 4) y* — Ax (x’— 4)y’+6x* (x’ — 4) y’— 4^ (*’— 4)y -t-x*(x* — 4) = o*

L'équation bicarrée

a deux racines réelles simples égales et de signes contraires x=dz ^ =± a.

Comme ces valeurs de x n'annulent pas >Hx), chacune des droites x = ± a

esl asymptote de deux branches réelles situées, l'une du côté des y positifs, l’autre du côté des y négatifs, et de part et d’autre de la droite.

346— Exemple II. Soit la courbe (x — 1)’ t/*+ 4 — a;* = 0. L’équation ç (x) = 0 devient (x — 1)* = 0. Cette équation admet la racine double x = t; or, quand x s’approche de l’unité, les deux valeurs des y sont imaginaires ; la droite x = \ n’est donc asymptote à aucune branche réelle.

ASYMPTOTES NON PARALLÈLES A l’aXE DES y.

347 — Considérons une branche de courbe infinie ayant une asymptote non parallèle à Taxe des y; une pareille asymptote a pour équation

y^ = cx-i- d,

c cl d étant deux constantes inconnues qu’il s’agit de déterminer. Représentons par y et ÿ, les ordonnées de la branche de courbe et de la droite qui correspondent à une même abscisse, par 8 la différence y — y^; d’après la définition, è est une fonction de X qui a pour limite zéro quand x augmente indéfiniment. La branche de courbe infinie que nous considérons est donc représentée par l’équation

(i) ÿ = y, -H ^ = ca: -h d -h

Quelquefois on peut mettre facilement l’équation de la branche de courbe sous la forme précédente, et alors on a de

suite l’asymptote. Soit, par exemple, l’équation y— ' f »

dans laquelle f (x) et F {x) représentent deux polynômes entiers en X, le premier du degré m, le second au plus du degré m-h-i -, les valeurs finies de x qui annulent le dénominateur donnent des branches infinies ayant leurs asymptotes parallèles à Taxe des y. 11 y a, en outre, deux autres branches infinies que l’on obtient en donnant à x des valeurs très-grandes, positives ou négatives. Si l’on effectue la division en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, on obtient un quotient entier ex ■+■ d, qui est au plus du premier degré, et l’on a

y = cx-hd-i-

fioo)

<p x) étant un polynôme entier d’un degré inférieur à m; cette

DES ASYMPTOTES

dernière fraction tendant vers zéro, quand x augmente indéfiniment, on voit que la droite y, = ca;-t-d est asymptote aux deux branches que nous considérons.

Nous citerons encore, comme exemple, la courbe transcendante

qui a une branche infinie dans l’angle YOX asymptote à la droite y = x.

En général, on n’obtient pas aussi facilement les asymptotes. Revenons à l’équation (i). On en déduit ^ y d S

Puisque d a une valeur finie et que 5 tend vers zéro quand x augmente indéfiniment, on a

(2) c = limite de-'

Le coefficient angulaire de l’asymptote est égal à la limite vers laquelle tend le rapport quand x augmente indéfiniment.

La même équation (i) donne d = y — cx — S, d’où (3) d = lim de {y — ex) .

L'ordonnée à l’origine de l’asymptote est égale à la limite de la différence y — ex, quand x augmente indéfiniment.

Ces deux propriétés servent à déterminer les asymptotes non parallèles à l’axe des y.

Supposons d’abord l’équation résolue par rapport à y, et considérons une détermination de y qui donne une branche réelle infinie. Quand x augmente indéfiniment, on prend, pour

cette branche, le rapport -• Si ce rapport ne tend pas vers

une limite finie, la branche n’a pas d’asymptote. Si le rapport tend vers une limite finie c, on considère la différence y — ex; lorsque cette différence ne tend pas vers une limite finie, la branche n’a pas d’asymptote; si, au contraire, elle tend vers une limite d, on aura y-cx = d-\-^, ^ tendant vers zéro

314 LIVRE rV, CHAPITRE III.

quand a: augmente indéfiniment; donc la droite y. = cx + d sera asymptote de la branche que Ton étudie.

— Exemple I. Construire la courbe

(I) y=ztx\/^^..

rapportée à des axes de coordonnées rectangulaires. L’axe OX est axe de la courbe. Lorsque a; varie de 0 à l’unité, y reste flnie; elle est d’abord nulle et redevient égale à zéro; on a ainsi la boucle OAO (fig. 209). Pour les valeurs de X comprises entre < et 2, y est imaginaire. Quand x dépasse 2 d'une petite quantité, y est réelle et très-grande ; si donc on prend OB égale à 2 et que l’on mène G'G parallèle à OY, cette droite sera asymptote de deux branches de la courbe.

Si l’on fait croître x à partir de 2, y commence par diminuer et redevient très-grand quand x est grand; on obtient ainsi les deux branches CND, C'Ji'D'. Lorsque x est négative, y est toujours réelle; x variant de 0 à — 00 , la valeur numérique de y varie égale- I ment de 0 à œ , et l’on a les deux branches