LIV. III, CHAI». V.— DE L’HYPERBOLE. 165 MÆ'* + Nÿ'*=H

Prenons pour axe des x le diamètre qui rencontre la courbe; on peut supposer H positif, alors H sera positif et N négatif. La longueur du premier demi-diamètre est la distance OD du point O au point de rencontre du diamètre avec la courbe;

celte longueur a pour expression On appelle lon-

gueur du second diamètre la quantité 6' = \/ Si l’on || ||

remplace M par —et N par — l’équation précédente devient

JC ^ y ^

Par la transformation des coordonnées, la fonction —

devenant — — -^j, il en résulte que l’équation de 1'Uyper-

bole conjuguée deviendra

Le demi -diamètre imaginaire b7 de l’hyperbole proposée dirigé suivant OY’ a donc pour longueur la distance OE du point O au point E où la droite OY' rencontre l’hyperbole conjuguée.

On voit aussi que la transformation des coordonnées appliquée à l’équation des asymptotes

donnera pour équation de ces droites dans le nouveau système d’axes

On en conclut que les diagonales du parallélogramme FHGK construit sur Jeux diamètres conjugués quelconques coïncident avec les asymptotes de l’hyperbole.

loti GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

On peut démontrer directement, comme au n° 182, que les

droiles y = ± — x' sont asymptotes des courbes

fil—3'!’ — ± l

Les côtés Fil, GK du parallélogramme sont tangents à la première hyperbole et les côtés FK, et GH à l’hyperbole conjuguée, de sorte que le parallélogramme est circonscrit au système des deux courbes.

194 — Si l’on appelle a et p les angles que font avec l’axe transverse OX les deux demi-diamètres conjugués OD, OE, a' et b' leurs longueurs, on a entre ces quatre quantités variables les trois relations

a' ‘cos ‘a

a^sin'a

b1 * cos 1 p

ft’sin’p

cos « cos p

sinasin p

les deux premières se déduisent des équations des deux hyperboles conjuguées en coordonnées polaires, la troisième exprime (pie les deux diamètres sont conjugués.

Ces relations sont analogues à celles que nous avons trouvées pour l’ellipse (n» 163); on pourra leur faire subir les mêmes transformations. La troisième relation se mettra sous la forme

a1 cos a a'sina

, / (a! co$<x\'

/a1 tint N*

6' smp Veo*p

i/ory

en continuant de la même manière, on arrivera aux équations a1' cos' a — ô'Vos’prra’, a”stn’a — b1 ’s«n’p= — b';

Ainsi, la différence des carrés de projections de deux diamètres conj ugués quelconques sur chacun des ares est constante. En ajoutant ces deux équations membre à membre, on a