L1V. III, CHAI*. V.-DE L’HYPEKBOLE
a'*— è”=a'— 6’; la différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale à la différence des carrés des axes.
On arrive aussi à la relation
a'b'sin(p — %)—ab;
d’où l'on conclut que l’aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante et égale à l’aire du rectangle des axes.
De la relation a'* — b‘'=z a'— b', il résulte que si a est différent de b, on ne peut pas avoir a =b' ; 1 hyperbole n’a pas de diamètres conjugués égaux. Si, au contraire, l’hyperbole est équilatère, on a toujours a xzb1 ; tous les systèmes de diamètres conjugués sont égaux ; ce qui s’accorde avec la remarque du n° 192, puisqu'alors les deux diamètres font avec l’asymptote des angles égaux.
195 — L’hyperbole et ses deux asymptotes ayant le même diamètre pour une même série de cordes, le milieu 1 de la corde MM' est aussi le milieu de la corde NN' (flg. 100).
Donc les portions MN, M'N' d'une sécante comprise entre l’hyperbole et ses asymptotes sont égales.
Si la sécante devient tangente, on a DF = DH; les portions dune tangente comprises entre le point de contact et les asymptotes sont égales.
1®®— Supposons l’hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués DIF, EE', dont l’un EE' est parallèle à une sécante donnée MN ; la courbe aura pour équation
et les asymptotes
Dans la ligure 100, la sécante MM' coupe la même branche en deux points, le diamètre parallèle EE' ne rencontre pas la courbe. On a
lt>8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
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par suite
NÏ‘— MI*=6'*,
(NI — MI) (NI + MI) = 6’*; mais NI— MI=MN et NI + Ml=MN'; donc MNxMN' = &'*.
Lorsque la sécante coupe les deux branches de l’hyperbole, le diamètre parallèle rencontre la courbe, et l’on arrive à uu résultat analogue. Ainsi
Le produit des segments d’une sécante, compris entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demidiamitre parallèle à la sécante.
197— Connaissant les asymptotes RR', SS' et un point M de l’hyperbole, on peut obtenir autant de points de la courbe yN/R qu’on le veut (flg. 101). Menons, en
s \ I c/7m effet, par le point M une droite quel-
X | / i / conque NMN' qui coupe les asymptotes
— en N et N', cette droite rencontrera la
/ : courbe en un second point M' tel que
r N'M'=NM.
s On peut également déterminer les directions et les grandeurs des axes.
La courbe étant comprise dans les angles ROS, R'OS', la bissectrice OA de ces deux angles sera l’axe transverse, et la perpendiculaire OB l’axe imaginaire. Menons QMQ' perpendiculaire sur OA, l’axe imaginaire b sera moyen proportionnel entre MQ et MQ'. En portant sur OB une longueur OB égale à b et en menant BC parallèle à OA, BC sera l’axe réel a.
On peut aussi construire la tangente en un |>oiut M' de la courbe. On mènera par ce point M P parallèle à une asymptote, on prendra 0G=20P; la droite M'G sera la tangente demandée.
