AIRE D’EN SEGMENT DE PARABOLE

— Proposons-nous d’évaluer l’aire S du triangle mixtiligne A'IM. Si l’on considère cette aire comme une fonction de l’abscisse du point M, la dérivée S' est donnée par la formule

S' =zy sin9= / 2px .sm8 = / 2p . sinô.x1 ,

6 étant l’angle YA'X des axes. On en déduit

S = ^ /2/j.sm O.x’+C ,

C désignant une constante. Mais la constante est nulle puisque l’aire se réduit à zéro pour x=0. Ainsi

S=r v/2px,imO = -x / 2 px sinü=-xy$inQ.

L’aire S est égale aux deux tiers du parallélogramme A'IMN ; et par suite l’aire du triangle inixtiligne A'NM est le tiers du même parallélogramme.

EXERCICES

1° Lieu du sommet d’un angle circonscrit à la parabole, et tel que le triangle formé par les côtés de l’angle et l’arc de parabole ait une aire constante.

2° Lieu des points desquels on peut mener à une parabole deux normales rectangulaires.

3* Une sécante tourne autour d’un point fixe pris sur l'axe d'une parabole ; par les points où elle coupe la parabole on mène des normales; trouver le lieu du point de concours de ces normales.

4° Une parabole se meut parallèlement à elle-même, de manière que son sommet décrive la parabole dans sa position initiale ; du sommet de cette parabole on mène des tangentes à la parabole mobile ; trouver le lieu des points de contact.

5" Lieu du point tel que la somme des carrés des normales menées de ce point à une parabole donnée soit constante.

6° Étant donnée une courbe du second degré inscrite dans un angle on mène une tangente quelconque à cette courbe ;

LIV. III, CHAP. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES. 181 trouver le lieu du point de concours des médianes ou des hauteurs du triangle formé par la tangente mobile et les côtés de triangle. Trouver aussi le lieu du centre du cercle circonscrit au même triangle.

7° Étant donnée une ellipse, par un point fixe on mène deux droites rectangulaires quelconques, et aux points où ces droites rencontrent l’ellipse on mène des tangentes à cette ellipse. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.

8° Même problème, quand on remplace les droites rectangulaires par des droites parallèles à deux diamètres conjugués d'une autre ellipse donnée.

Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé sur une courbe du second degré donnée ; aux points où les côtés de l’angle rencontrent la courbe on mène des tangentes à celle courbe. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes.