CHAPITRE VII

Foyers et Directrices.

315 — Proposons-nous d’abord la question suivante :

Étant donnés un point fixe F et une droite fixe DE (tig. III), trouver le lieu du point dont les distances au point fixe et à la droite fixe sont entre elles dans un rapport constant.

Traçons dans le plan des axes rectangulaires quelconques; appelons acte les coordonnéesdu point F, et soit mx-fary+p=0 l’équation de la droite DE; les distances d’un point quelconque M du lieu au point F Fig. m. et à la droite DE sont données par les formules

MF = /(*-«)' + (y-W*,

mp= ■*+ÎI±J!:

tÏB' + H1

MF

si l’on désigne par k le rapport constant le lieu aura pour équation

tn:r + nÿ-fp *1 '

ou

Ce lieu est une courbe du second degré. La quantité B* — 4 AC, qui sert à distinguer l’espèce de la courbe, se réduisant à 4 (k1— 1), la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le rapport k est inférieur, égal, ou supérieur à l’unité.

Le point F s’appelle foyer de la courbe, la droite UE directrice.

910 — Il est aisé de voir que la perpendiculaire FD abaissée du foyer sur la directrice est un axe de la courbe (fig. 112).

e Car soit M un point quely conque du lieu; le point M’, P symétrique du premier par rapport à la droite FD, appartiendra aussi au lieu , puisque les distances M'F , MT' sont respectivement r<e- 1 égales aux distances MF, MP.

Considérons d’abord le cas où k est plus petit que 1 ; le lieu est une ellipse. Sur l’axe FD, on peut déterminer deux points A et A', tels que