AF A'F

ÀD — A'D-

ces deux points sont les extrémités de l’axe transversc AA' de l'hyperbole

(flg. 1 13). Le milieu O en est le centre. La perpendiculaire BB',

rie. h*.

menée par le centre à l’axe transverse AA', est l’axe non transverse de l’hyperbole. Ainsi l’axe transverse de l’hyperbole est perpendiculaire à la directrice. Si l’on fait tourner la figure autour de BB' pour l’appliquer de l’autre côté, le foyer F vient en F', la directrice DE en IVE' ; le foyer F' avec la directrice D'E', et le même rapport k

donne la même hyperbole.

184 GÉOMÉTRIE ANATYTIUl'E.

Enfin lorsque k—i, la courbe est une parabole. La perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice est l’axe et le milieu A de la distance FD est le sommet de la parabole (fig. 114).

21 T — Nous avons étudié le lieu des points tels que les distances de chacun d’eux à un point fixe F et à une droite fixe UE sont dans un rapport constant, et nous avons vu que ce lieu est représenté par l’équation

l;mx+ny+p

Celte équation montre que la distance du foyer F à un point quelconque M de la courbe est égale à une fonction entière et du premier degré des coordonnées x cl y du point M.

Réciproquement, si un point fixe F jouit de cette propriété que sa distance à un point quelconque M de la courbe soit égale à une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M, ce point F est un foyer, c’est-à-dire qu’il existe une droite DE (fig. 1 11), telle que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point F et à la droite DE soit constant. En effet, supposons que l’on ait

FM=±(mx 4 -ny + p),

en désignant par mx + ny + p une fonction entière et du premier degré des coordonnées x et y du point M. Considérons la droite DE qui a pour équation

mx + »y + p=o ;

la distance du point M à cette droite est donnée par la formule

mp— mx+ny+p

On a donc