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Ainsi le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point fixe F et à la droite fixe DE est constant; le point F est donc un foyer de la courbe, et la droite DE la

LIV. III, CHAI». VII.— FOYEKS ET D1KECTK1CES. 185 direclrice correspondante. En désignant par k la valeur du rapport constant, on a k=^ m’-j-n’.

Voilà pourquoi on définit souvent le foyer d’une courbe du second degré un point fixe F dont la distance à un point quelconque M de la courbe s’exprime par uiie fonction entière et du premier degré des coordonnées du point M. On obtient l’équation de la directrice en égalant cette fonction à zéro.

Il est évident ù priori que cette propriété algébrique du foyer est indépendante de la position des axes des coordonnées dans le plan, puisqu’elle a une signification géométrique bien précise; d’ailleurs il est clair qu’une fonction entière et du premier degré conserve ce même caractère quand on change les coordonnées.

Si l’on prend l’axe des y parallèle à la direclrice et pour axe desx une droite quelconque, l’équation de la directrice devant être delà forme mar-)-pz=0, il en résulte que le coefficient n est nul et par suite que la distance FM du foyer à un point quelconque M de la courbe est égale à une fonction entière et du premier degré ±(ma:-(-p) de l’abscisse x du point M.

Nous allons nous occuper maintenant de la question inverse; étant donnée une courbe du second degré, trouver son foyer et sa directrice, c’est-à-dire trouver dans le plan de la courbe un point et une droite tels que le rapport des distances de chacun des points de la courbe au point fixe et à la droite fixe soit constant. Comme nous l’avons dit, cette question revient à la suivante : trouver un point tel que sa distance à chacun des points de la courbe soit égale à une fonction entière et du premier degré des coordonnées du point de la courbe.