THÉORÈME I

somme des distances de chacun des points de l’ellipse aux deux foyers est constante et égale au grand axe.

Nous avons Irouvé pour expression de la distance d'un point quelconque de l’ellipse à l’un ou l'autre foyer

3=±(°Tir)'

Dans l’ellipse, le rapport — étant moindre que l’unité etl’ab-

scisse x moindre que a en valeur absolue, le terme — est

plus petit que a en valeur absolue et par conséquent la parenthèse est toujours positive; il faudra la faire précéder du signe +. Quant au double signe dans la parenthèse, le signe supérieur se rapporte au foyer F, le signe inférieur au foyer F'; on a donc (fig. H 5)

ex ~a’ ex a '

d’où l’on déduit

MF + MF' = 2 a.

MF=a— MF'=a + •

290 — Corollaire I. La somme des distances d’un point intérieur à l’ellipse au.r deux foyers est plus petite que le grand axe. La somme des distances d’un point extérieur est plus grande que le grand axe.

Considérons d’abord un point N (fig. 116) situé à Fintétieur de l’ellipse. Joignons ce point aux deux foyers et prolongeons la droite F'N jusqu’à sa rencontre avec l’ellipse en M. Le point M appartenant à l’ellipse, la somme des deux rayons vecteurs MF -f- MF' est égale au grand axe AA'; mais la ligne droite NF est plus petite que la ligne brisée NM+MF; eu ajoutant de part etd’autrela même longueur F'N, on voit que le chemin F'N+NF est plus petit que F'M+MF, c’est-à-dire plus petit que AA'.

Considérons maintenant un point P situé hors de l'ellipse; la

Fig. 116.