LIV.III, CHAP. VII — FOYERS ET DIRECTRICES

droite PF' rencontre l’ellipse en un point M. La ligne brisée MP-fPF est pins grande que la ligne droite MF; en ajoutant de part et d’autre la même longueur F M, on voit que le chemin F'P+PF est plus grand que F'M + MF, c’est-à-dire plus grand que AA'.

Il est clair que les réciproques sont vraies. Si la somme des distances d’un point du plan aux deux foyers est plus petite que le grand axe, ce point est intérieur à l’ellipse. Si la somme est plus grande que le grand axe, le point est extérieur.

11 résulte de là que l’on peut considérer l’ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances aux deux foyers est constante. C’est ainsi qu’on définit l’ellipse en Géométrie élémentaire, et c’est sur cette propriété que repose la construction de l’ellipse par points, ou d’un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n™ 12 ett3).

991— Corollaire II. L'ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle décrit de l’autre foyer F'

comme centre , avec un rayon égal au grand axe.

Si Conjoint lesfoyersà un point quelconque M de l’ellipse , et si l’on prolonge le rayon vecteur F'M d’une longueur MH égaleàMF,onobtientune longueur F'H constante et égale au grand axe ; le lieu du point H est donc la circonférence décrite du foyer F' comme centre He. ii7. i avec le grand axe pour

rayon. La portion MH du rayon étant le plus court chemin du point M à cette circonférence, on voit que le point M de l’ellipse est également distant du foyer F et de la circonférence. On a donné à ce cercle le nom de cercle directeur.

Fig. 118.

Théorème ii.

222 — La tangente à l’ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs, qui vont du point de contact aux deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' (fig. 118) sur l’ellipse; du foyer F comme centre, avec FM pour rayon, décrivons on , arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM', la longueur M'C représente la différence des deux rayons vecteurs FM et FM', ou l’accroissement qu’éprouve le rayon vecteur FM quand ou passe du point M au point voisin M'. De même, si du foyer F' comme centre, avec F'M pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecteur F M' prolongé, la longueur M'D représentera la différence des deux rayons vecteurs F'M et F'M', ou la diminution qu’éprouve le rayon vecteur F'M quand on passe du point M au point M'. Ainsi, quand on passe du point M au point M', le rayon vecteur FM éprouve un accroissement M'C, tandis que l’autre rayon vecteur F'M éprouve une diminution M'D. Puisque la somme des deux rayons vecteurs FM + F'M reste constante, l'augmentation de l’un est égale à la diminution de l’autre, cl par conséquent les deux longueurs M C et M'D sont égales.

Par les deux points M et M' menons la sécante MS; dans les deux cercles considérés précédemment, traçons les cordes MC et MD. Sur la sécante MS portons une longueur MG, arbitraire, mais invariable, et par le point G menons GH parallèle à MC, GK parallèle à MD ; à cause des parallèles, on a les rapports égaux