LIV. III, CHAP. VII. — FOYERS ET DIRECTRICES

ment du point M; la sécante MS tend vers une position limite, qui est la tangente à l’ellipse. En même temps, les points C et D se rapprochent aussi du point M, les cordes MC et MD, prolongées, tendent vers les tangentes aux cercles décrits des points F et F'1 comme centres avec FM et F M pour rayons, et par conséquent deviennent perpendiculaires aux rayons FM et F M ; leurs parallèles GII et GE prennent aussi les directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et, comme les rayons vecteurs FM' et F M' se confondent avec FM et F M, les angles H et K deviennent droits.

Les limites des deux triangles M GH , M GE sont deux triangles rectangles MGH, MGE (fig. 119); ces deux triangles, ayant l’hypoténuse MGcommune etles V côtés MH et ME égaux entre eux comme

^01 - V limitesdes longueurs égales M'HetM'E,

f sont égaux ; d'où l’on conclut l’égalité

( ff £ J xT des deux anglesGMII,GME. Il en résulte

que la tangente MT à l’ellipse divise en ^ deux parties égales l’angle FME formé

F'c M9' par l’un des rayons vecteurs MF et le

prolongement de l’autre F'M.

L'angle F'MT' étant égal à son opposé par le sommet GMK, on voit que la tangente TT' fait, avec les deux rayons vecteurs qui vont au point de contact, des angles égaux FMT, F'MT'.

293— Cobollaibe I. Menons au point M (fig. 120) une perpendiculaire MN à la tangente TT', nous aurons la normale à

Fic. 110.

l’ellipse. Les deux angles FMN, F'MN, sontégaux comme complementaires des angles égaux FMT, F'MT' ; ainsi la normale à l'ellipse an poinl M est bissectrice de l'angle FMF' des rayons vecteurs qui vont de ce point au. r deux foyers.

924 — Cohoi.lame 11. Supposons qu’une lumière soit placée au foyer F (Bg. 121) d’une ellipse ; les rayons lumineux, par-

tant du point F, se réfléchissent sur l’ellipse en faisant un angle de réflexion égal à l’angle d'incidence. Soit FM l’un de ces rayons; menons la tangente TT' à l’ellipse en ce point; le rayon réfléchi, devant faire avec MT' un angle égal à FMT, sera dirigé suivant MF . Ainsi les rayons réfléchis viennent tous concourir au second foyer F/ où ils forment une image très-brillante de la flamme placée au premier foyer F. C’est de là que vient la dénomination de foyer.

225 — Corollaire III. Réciproquement, l’ellipse est la seule courbe qui jouisse de la propriété que sa tangente fasse extérieurement des angles égaux avec les rayons veclcurs qui vont du point de contact à deux joints fixes F et F'. Cherchons, en effet, l’équation de la courbe en coordonnées bi-polaires et désignons par « et v les deux rayons vecteurs MF, MF' (fig. 118). Quand on passe d’un point M de la courbe au point voisin M', les deux rayons vecteurs u et v éprouvent des variations Au= + M'C, \v=— M'D,

et l’on a

Au- M'C M'H'

Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devient tangente et les deux angles H et K, comme nous l’avons dit, deviennent droits. Nous supposons d’ailleurs les deux angles GMH, GMK (fig. 1 19) égaux entre eux ; les deux triangles rectangles GMH, GMK sont donc égaux, et l’on

a MH=MK. Le rapport ^ tend vers une limite égale à —

et par conséquent égal à — 1. Si l'on considère v comme une fonction de u, on voit que la dérivée de celte fonction est égale à — 1; en remontant à la fonction primitive, on a v= — u+C; et par suite u+«=C. Donc la courbe est une ellipse.