LIV. III, CHAP. VU. — FOYERS ET DIRECTRICES

5820 - Corollaire IV. Le lieu des projections des foyers sur les tangentes à f ellipse est le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre. La tangente étant perpendiculaire sur le milieu 1 de la droite FH, le point 1 est la projection du foyer F sur la tangente. Joignons ce point au centre 0 de l'ellipse. La droite 01, qui divise en deux parties égales les côtés F'F, FH du triangle Fie- lïî- F'FH, est parallèle au troisième côté

F'H, et en est la moitié; la longueur F'H étant égale au grand axe AA', la distance 01 est constante et égale à OA. Donc le lieu du point I est la circonférence de cercle décrite du point 0 comme centre, avec OA pour rayon.

PROBLÈME I

227 — Mener une lanyente à l’ellipse en un point M donné sur l'ellipse.

Nous avons déjà résolu ce problème, ainsi que les suivants, en considérant l’ellipse comme la projection d’un cercle. Nous allons traiter les mêmes questions par une autre méthode qui pourra être appliquée à l’hyperbole et à la parabole.

Prolongez le rayon vecteur F'M (lig. 122) d'une longueur MH égale à l’autre rayon vecteur MF, et par le point M menez une droite TT' perpendiculaire à F’H; vous aurez la tangente demandée.

Car, dans le triangle isocèle FMI1, la droite MT, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base FH, divise l’angle au sommet en deux parties égales. Cette droite, étant bissectrice de l’angle FMH, formé par l’un des rayons vecteurs elle prolongement de l’autre, coïncide avec la tangente à l’ellipse.

228— Remarqi e. Il est bon de remarquer que tous les

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés hors de l’ellipse. Soit P un point quelconque de la tangente, joignons ce point aux deux foyers et au [joint II. La tangente, étant perpendiculaire sur le milieu de FH, la distance PF égale PII, et par conséquent la ligne brisée F'P-f PF égale la ligne brisée lr/P -f- PH ; mais cette dernière est plus grande que la ligne droite F'H qui est égale au grand axe de l’ellipse, puisqu’on a prolongé le rayon vecteur F'M d’une longueur MII égale à MF. La somme des distances du point P aux deux foyers étant plus grande que le grand axe, ce point est situé hors de l’ellipse.

La ligne brisée F'M+MF est le plus court chemin allant du point F' au point F en passant par un point de la tangente.

On dit qu’une ligne brisée est convexe, lorsqu’elle est située tout entière d’un même côté par rapporta chacun de ses côtés indéfiniment prolongé, l'e même, on dit qu’une courbe est convexe lorsqu'elle est située tout entière d’un même côté par rapport à chacune de ses tangentes indéfiniment prolongée. 11 résulte de ce qui précède que l’ellipse est une courbe fermée convexe.

PROBLEME U

229— Mener une tangente à l’ellipse par un point extérieur P.

Supposons le problème résolu et soitPM (fig. t-2i) la tangente H demandée. Si l’on prolonge F M

d’une longueur MII égale à FM, on sait que la tangente PM est p perpendiculaire sur le milieu de la droite FH; il en résulte que la distance PH est égale à PF.

La question revient à déterminer le point II. Puisque la droite F H est égale au grand axe AA', le. point H est situé sur la circonférence décrite du foyer F' comme centre avec AA' pour