LIV. III, CHAP. VII— FOYERS ET DIP.ECTRICES

rayon. D’autre part, la distance PH étant égalé à PF, le point H est sur la circonférence décrite du point P comme centre avec PF pour rayon ; le point II est donc à l’intersection de ces deux circonférences. Ou déduit de là la construction suivante:

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivez un cercle. Du point P comme centre, avec un rayon égal à la distance PF de ce point à l’autre foyer, décrivez un second cercle, qui coupera le premier au point H. Joignez FH, et du point P menez une perpendiculaire à la droite FH, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l’intersection de la tangente avec la droite F' H.

Les deux cercles se coupent en un second point H'; en menant de même du point P une perpendiculaire à FH', on aura une seconde tangente PM', dont on déterminera le point de contact M' à l’aide de la droite F1!!'.

H est à remarquer que ces constructions peuvent être effectuées sans que l’ellipse soit tracée. Il suffit que l’on connaisse les foyers et le grand axe.

PROBLÈME III

930 — Mener à l’ellipse une tangente parallèle à une droite donnée KL.

Supposons le problème résolu, et soit ST la tan gente demandée (üg. 1 25). Si l’on prolonge F'M d une longueur MH égale à MF, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FH. On en déduit la construction suivante :

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal au grand axe, décrivez un cercle; par l’autre foyer F menez une droite FH perpendiculaire à la droite donnée KL; cette droite coupera la circonférence en un point H ;

sur le milieu de FH, élevez une perpendiculaire ST, vous aurez la tangente demandée. Le point de contact sera déterminé par l’intersection de la tangente avec la droite F H.

La droite FH prolongée rencontre la circonférence en un second point H'; en élevant une perpendiculaire sur le milieu de FH', on obtiendra une seconde tangente S/T', dont on déterminera le point de contact M' par la droite F'H'.

PROBLÈME IV

231 — Une ellipse étant définie par ses foyers et son grand axe, déterminer les points où elle est coupée par une droite donnée M M'.

Soit M l'un des points où la droite donnée coupe l’ellipse; joignons ce point aux deux foyers et prolongeons le rayon vecteur F'M d’une longueur MH égale à MF; le point H appartient au cercle directeur décrit du foyer F' comme centre; si du point M comine centre, avec un rayon égal à MF, on décrit un cercle, ce cercle sera tangent en H au cercle directeur; en abaissant du foyer F une perpendiculaire sur la droite donnée et prolongeant cette perpendiculaire d’une longueur égale à elle-même, on obtient un second point F, appartenant à ce même cercle. La question revient donc à trouver le centre M d’un cercle passant par les deux points donnés F et F, et tangent au cercle directeur. Pour cela, par les deux points F et F, on fait passer un cercle quelconque, qui coupe le cercle directeur en deux points K cl K' ; du point I, intersection des deux droites FF, el KK', on mène une tangente IH au cercle directeur; le point M, où la droite FH coupe la droite donnée, sera le point cherché.

On a en effet

llî ==1K X IK' = IF X IF,;

donc le cercle qui passe pur les trois points F, F,, H est lan-

UV. II!, CHAP. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES. 107 gent en H au cercle directeur. Comme on peut mener du point I deux tangentes au cercle directeur, on aura deux points M et MC

FOYERS ET DIRECTRICES DE I.’hYPERBOLE.

232— Supposons aussi l’hyperbole rapportée à ses axes, et soit

son équation. Le foyer devant être situé sur Taxe transverse et la directrice perpendiculaire à cet axe, ainsi que nous l’avons remarqué (n° 216), la distance S du foyer F à un point quelconque M de la courbe s’exprimera par une fonction entière et du premier degré de l’abscisse du point M. Si l’on appelle a l’abscisse du foyer, on a

ou, en remplaçant y * par sa valeur tirée de l’équation de la courbe,

et par suite

3’ = — x' — 2aa:-f-3’ — 6*.

Pour que ce polynôme soit un carré parfait, il faut que la condition

soit remplie; on en déduit

On obtient ainsi deux foyers F et F' situés sur l’axe transverse à même distance du centre (fig. 127). Pour déterminer graphiquement les foyers, par le sommet A, on élève une perpendiculaire AG sur l’axe transversc jusqu’à l’asymptote, et on prend OF=OG. Si l’on pose, pour abréger c,=a'-\-b') d’où a=±c, il vient

et par suite

c'x' - , , (CX \

— :2cir+a = I — -*-a \ ,

En égalant à zéro cetle fonction du premier degré, on obtient les équations des directrices

'Kl