THÉORÈME IV

23® — La tangente à l'hyperbole est bissectrice (le l’angle des rayons vecteurs gui vont du point de contact aux deux foyers.

Prenons deux points voisins M et M' sur l'hyperbole (fig. 130).

Du foyer F, comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons un arc de 1 cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM'; du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à FM, décrivons un arc de cercle qui coupera en D le rayon vecteur F'M' ; quand on passe dn point M au point M', les deux rayons vecteurs FM, F'M éprouvent des accroissements égaux à M'C et à M'D; puisque la différence est constante, ces deux accroissements sont égaux entre eux.

Sur la sécante MM', prenons une longueur arbitraire MG, et, par le point G, menons GH parallèle à la corde MG et GK parallèle à la corde MD. A cause des parallèles, on a M'C MSI M'D ¥H—M'G“M7K;

puisque les deux longueurs M'C et MT) sont égales, il en résulte que les deux longueurs M'H et M'K sont aussi égales. Lorsque le point M' se rapproche indéfiniment dn point M, la sécante MM' tend vers une position limite qui est la tangente à l’hyperbole au point M ; en même temps, les cordes MC et MD deviennent tangentes aux cercles décrits des foyers comme centres, et par conséquent perpendiculaires à FM, F'M; leurs parallèles GH, GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et les angles H et K deviennent droits. Les deux triangles M'GH, M'GK, qui ont un côté M'G commun et un côté M'H égal à M K, deviennent donc rectangles, et par conséquent égaux entre eux ; il en résulte que les angles GM'H, GM'K deviennent égaux; ainsi la tangente à l’hyperbole au point M est bissectrice de l’angle FMF'.

237 — Corollaire I. L’hyperbole est la seule courbe qui jouisse de celte propriété ; car en appelant u et u les rayons MF et MF', Au et Au leurs accroissements, on a Au MD M'K

Â^-src-Mü-

Si l’on suppose que les angles GM'H, GM'K deviennent égaux, quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux triangles M'GH, M'GK deviennent égaux, ainsi que les côtés M'H et M'K. On a donc

.. Au Inn — = 1.

Au

En remontant à la fonction primitive, on a u=u + C ,

d’où

23 8 — Corollaire II. Une ellipse et une hyperbole homo focales se coupent à angle droit. On dit que deux courbes du

second degré sont homofocales lorsque leurs foyers coïncident; on appelle angle de deux courbes l’angle de leurs tangentes au point d’intersection. Soit M le point d’intersection d’une ellipse et d'une hyperbole qui ont mêmes foyers F, F' (fig. 131); la f,g l31, bissectrice MN de l’angle FMF' est

d’une part normale à l’ellipse, d’autre part tangente à l’hyperbole; donc les tangentes MT, MN aux deux courbes sont perpendiculaires entre elles.

PROBLÈME V

239 — Mener une tangente à l’hyperbole par un point M donné sur l’hyperbole.

Sur le rayon vecteur MF' prenez une longueur MI1 égale à l’autre rayon vecteur MF, et par le point M menez une droite MT perpendiculaire à Fil ; vous aurez la tangente demandée 'fig. 132),