IJV. III, CHAP. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES

Rf.mahqi e. Il est bon <le remarquer c|ue la tangente est tout entière située entre les deux branches de l'hyperbole. Soit P un point quelconque de cette tangente, on a PF' — P1I<F'H, et par suite

PF'— PF<2a ;

donc le point P est situé entre les deux branches de l’hyperbole. Une branche d’hyperbole, étant située d’un même

côté de chacune de ses tangentes, est une courbe convexe.

La tangente étant perpendiculaire sur le milieu I de FH, le point I est la projection du foyer F sur la tangente. La droite 01, étant parallèle à Fil et égale à la moitié de F'H, est constante; il en résulte que le lieu des projections des foyers sur les tangentes est le cercle décrit sur l’axe transverse comme diamètre.

PROBLÈME VI

340 — Mener des tangentes à l’hyperbole par un point donné P situé entre les deux branches de l’hyperbole.

Soit PM l’une des tangentes demandées (tig.133); si du rayon

vecteur MF' on retranche MII=MF, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FIL La question revient à déterminer le point H ; ce point se trouve à l’intersection du cercle décrit du foyer F' comme centre, avec un rayon égal il 2a, et du cercle décrit du point P comme centre avec un rayon égal à PF.

Les deux cercles se coupent en un second point II'; en menant du point P une perpendiculaire surFH', on aura une seconde

Fig. 133.

2üi

tangente PM', dont on déterminera le point de contact à l’aide de la droite FTP.

Lorsque le point P est situé sur l’une des asymptotes, l’une des tangentes menées par le point P coïncide avec cette asymptote, et le point de contact s’éloigne à l’infini.

PROBLÈME VII

844 — Mener à l'hyperbole des tangentes parallèles à une droite donnée OL.

Du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2a, on décrira le cercle directeur; du foyer F, on mènera une droite perpendiculaire à OL(fig. 134); cette droite coupera le

cercle en deux points H et H'; par les milieux des droites FH et FH', on mènera des parallèles à OL; ccs parallèles seront les tangentes demandées. Les droites F'H, F' IP détermineront les points de contact M et M'.

Pour que le problème soit possible, il faut que la droite donnée OL, que l’on peut supposer menée par le centre, ne rencontre pas l’hyperbole; alors la perpendiculaire FH' menée par le foyer F coupera le cercle directeur en deux points.

PROBLÈME VIII

848 — Trouver les points de rencontre d'une droite et d’une hyperbole définie par ses foyers et son axe transverse.

La construction est exactement la même que pour l’ellipse.