FOYER ET DIRECTRICE DE LA PARABOLE

843 — Cherchons maintenant le foyer et la directrice de la parabole. Supposons la courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet ; son équation sera y' = %px.

Nous savons, d’après la remarque faite au n« 216, que le foyer doit être situé sur l’axe de la parabole et la directrice per-

LIV. III, CHAP. VII.— FOYERS ET DIRECTRICES. 205 pendiculaire à cet aie; il en résulte que la distance 8 du foyer F à un point quelconque M de la courbe doit s’exprimer par une fonction entière et du premier degré de l’abscisse du point M. En désignant par a l’abscisse du foyer, on a S’=(x—

ou, en remplaçant y' par sa valeur tirée de l’équation delà courbe,

S* = (x— a)'-\-’îpx = x' + 2 (p — o) j + a*.

Pour que ce polynôme soit un carré parfait, il faut que la condition

soit remplie; d’où

On obtient ainsi un seul foyer F situé sur l’axe de la parabole et à une distance du sommet A égale à la moitié du paramètre (fig. 135).

Si l’on remplace a par sa valeur, il vient

d’où

En égalant à zéro l’expression de S, on obtient l’équation de la directrice

La directrice DD' est à l’axe perpendiculaire et à une distance AD du sommet égale à AF.

Le rapport constant A=/m’4-n* se réduit ici à l'unité; ainsi chacun des points de la parabole est également distant du foyer et de la directrice.