THÉORÈME V

244 — Tout point intérieur à la parabole est plus rapproché du loyer que de la directrice ; tout point extérieur est, au contraire, plus rapproché de la directrice que du foyer.

Fig. 13S.

Considérons d’abord un point N (lig. 135) situé à l’intérieur de la parabole; joignons -le au foyer et abaissons de ce point une perpendiculaire NE sur la directrice. Celte perpendiculaire rencontre la courbe en un point M que nous joignons au foyer. I.e point M appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales. Mais la ligne droite N’F est plus courte que la ligne brisée NM + MF; si l'on remplace MF par son égale ME, on voit que la distance NF est plus petite que NE. Ainsi le point intérieur N est plus près du foyer que de la directrice.

Considérons maintenant un point extérieur P, situé entre la courbe et la directrice. Joignons-le au foyer et abaissons sur la directrice une perpendiculaire PE que nous prolongerons jusqu’à sa rencontre en M avec la courbe. Le point M appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales; la ligne droite MF ou son égale ME est plus courte que la ligne brisée MP + PF, si l’on retranche MP de part et d'autre, on voit que PE est plus courte que PF. Ainsi le point extérieur P est plus près de la directrice que du foyer.

Lorsque le point P est situé à gauche de la directrice, il est évidemment plus près de la directrice que du foyer.

Il résulte de là que la parabole peut être considérée comme le lieu des points également distants du foyer et de la directrice. C’est ainsi qu’on définit la parabole en Géométrie élémentaire, et c’est sur cette propriété que repose la construction de la parabole par points ou d'un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n°» 24 et 25).