POINTS ET DROITES IMAGINAIRES

879— Un système de valeurs réelles de a: et de y détermine un point du plan ; par analogie, nous appellerons point imaginaire un système de valeurs imaginaires attribuées à x et y. Si deux systèmes de valeurs imaginaires sont de la forme x=a + pi , y = y + s * , x—n — fti, y=y — Si, nous dirons que les deux points imaginaires sont conjugués.

Une équation du premier degré A J + By + C=0 à coefficients réels est vérifiée par les coordonnées d'une infinité de points réels, dont le lieu est une ligne droite; mais elle est vérifiée aussi par une infinité de systèmes de valeurs imaginaires attribuées à x et à y; car, si l’on attribue à x une valeur imaginaire quelconque, on en déduira pour y une valeur imaginaire correspondante. Si l’on attribue à x deux valeurs imaginaires conjuguées, les deux valeurs de y seront aussi conjuguées.

Par analogie, nous appellerons droite imaginaire une équation du premier degré à coefficients imaginaires. Il est à remarquer qu’une droite imaginaire passe par un point réel ; Soit, en effet,

(A' + A"i) x + (B' +B" i)y+ (C' + C" «) = 0, ou

(A'z+B'y+C'j + i (A" ar + B" y + C") = 0 , une droite imaginaire. Cette équation sera vérifiée par les coordonnées du point d'intersection des deux droites réelles

LIV. III, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ. 243 A'* + B'y + C' = 0,

H'x + Wy+C"z=0.

L'équation générale du premier degré, renfermant trois coefficients, et par suite deux paramètres arbitraires, deux points, réels ou imaginaires, détermineront la droite. Si l’on appelle x/ , y', x", y", les coordonnées des deux points donnés, la droite qui passe par ces deux points aura pour équation ■r'— ■r' y— y'

x/'—xf y"— y''

La droite, qui passe par deux points imaginaires conjugués, est réelle. Soient, en effet, x'=* + pi, y' = y j 5,^ .*//„ p,’ y' =Y— l’équation de la droite se réduit à

Le point qui a pour coordonnées

.. y'-fyv xi — — 5 — , y, — — s —

sera dit le milieu de la droite qui joint les deux points donnés ; si les deux points sont imaginaires conjugués, le milieu sera un point réel.

— Deux équations, l’une du premier degré, l’autre du second degré en x et y , admettent deux systèmes de solutions. On dira donc qu’une droite rencontre une courbe du second degré en deux points réels ou imaginaires. Une droite réelle rencontre une courbe du second degré réelle en deux points, réels ou imaginaires conjugués. Ceci permet d’expliquer un fait qui s’est présenté déjà plusieurs fois; quand on cherche, par exemple, le lieu des milieux d’une série de cordes parallèles dans l’ellipse, on trouve par le calcul une droite indéfinie, et cependant le lieu, tel qu il est defini géométriquement, ne se compose que de la partie du diamètre intérieure à l'ellipse; les sécantes extérieures rencontrent l’ellipse en deux points imaginaires conjugués, le milieu de la corde est encore un point réel, et le diamètre se prolonge ainsi en dehors de la courbe.

281 — Nous avons démontré que cinq points réels déterminent une courbe du second degré; la même mode de démonstration s’applique quand, parmi ces points, se trouvent des points imaginaires conjugués. Supposons, par exemple, que les deux points A et B soient imaginaires conjugués, ainsi que les deux points C et D; on prendra pour axes des coordonnées les deux droites réelles AB et CD ; l'équation

représentera toutes les courbes du secûnd degré qui passent par les quatre points A, B, C, D ; un cinquième point E, réel ou imaginaire, déterminera le paramètre a.

INTERSECTION DE DEl'X COURBES DU SECOND DEGRÉ.

282 — Soient P=0, Q = 0 les équations de deux courbes du second degré; si l’on élimine y ' entre ces deux équations, on a une équation du premier degré en y, de la forme (?•*•+ r) y= mr' -f n/ + p ;

en portant cette valeur de y dans l’une des deux équations proposées, on obtient une équation du quatrième degré en x ; à chaque valeur de x correspond une valeur de y. On en conclut que deux courbes réelles du second degré se coupent en quatre points réels ou imaginaires et conjugués deux à deux-

L’équation

P + XQ = 0,

dans laquelle X est un paramètre arbitraire, représente toutes les cour lies du second degré qui passent par les quatre points communs aux deux courbes proposées; car on peut déterminer le paramètre o de manière que la courbe passe par un cinquième point pris à volonté.

Parmi ces courbes se trouvent trois couples de droites, et il est à remarquer que l’un des couples est toujours formé de deux droites réelles. En elfet, si les deux courbes se coupent en quatre points réels A, B, C, D, les trois couples AB et CD, BC et AD, AC et BD, sont formés de droites réelles. Lorsque les deux courbes se coupent en deux points réels A et B, et en