LIV. III, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ

deux points imaginaires conjugués C el D, le couple AB, CD est formé de droites réelles ; les quatre autres droites sont imaginaires; car si la droite AC, par exemple, était réelle, elle couperait la droite réelle CD en un point réel C, ce qui est contraire à l’hypothèse. Enfin , lorsque les deux points A et B sont imaginaires conjugués, ainsi que les deux points C et D, le couple AB, CD est encore formé de deux droites réelles.

11 résulte de ce qui précède que deux courbes réelles du second degré admettent au moins deux sécantes communes réelles.

283 — Pour donner une application de ce qui précède, considérons, par exemple, deux ellipses ayant un foyer commun. Ces deux ellipses ne peuvent se couper en plus de deux points réels; car, d’après ce que nous avons dit au n° 275, deux ellipses, qui ont un foyer commun el trois points communs, coïncident; elles admettent donc deux sécantes communes réelles.

Soient

(,r— a) 1 + (y— P) ' = (mx -f ny + p) *,

(x— <*)*+(y-p) = (m'x+n'y+p') « les équations des deux ellipses; les deux sécantes communes réelles ont pour équations

mx + ny + p = ± (m'x -f n'y + p) ;

Fig. tei.

elles passent par le point d’intersection I des direc-

trices DI, D’I (fig. I6t). Si l’on appelle 8 et 8’ les distances d’un point quelconque de ces sécantes aux directrices, on a, en vertu de l’équation précédente,

Cette

propriété géométrique permet de déterminer un second point de chacunedes sécantes communes, el par suite de construire ces

droites. Supposons que les deux ellipses se coupent en deux points réels A et B; l’une des sécantes communes réelles est la droite AB qui passe par ces deux points ; l'autre IL ne rencontre pas les courbes. Pour déterminer celte seconde droite, joignons le point A au foyer F et abaissons de ce point des per-

pendiculaircs AE, AE' sur les directrices, on a t