AF 5 AE

Vm,‘ + n/'= , et par suite —= rrr. Prolongeons la

Ail. 0 AU

perpendiculaire AE d'une longueur EH égale à elle-même ; par le point H menons une parallèle HL à la première directrice, et par le point A une parallèle AL à la seconde directrice; le point d’intersection L de ces deux parallèles appartiendra à la seconde sécante commune réelle IL.

2841 — La recherche des points d’intersection de deux courbes du second degré dépend en général de la résolution d’une équation du quatrième degré ; mais on peut ramener la question a la résolution d’une équation du troisième degré. L’équation P + XQ=0, dans laquelle le paramètre X est arbitraire , représentant toutes les lignes du second degré qui passent par les points communs aux deux premières, on peut déterminer le paramètre X de manière que cette équation représente deux droites; les deux courbes admettent trois couples de sécantes communes, la valeur de X sera donnée par une équation du troisième degré.

Soient

(t) ax'+bxy + cy' + dx + ey+f= 0,

(2) a'x,+ bxy + c'y' + d,x + t,y + f=0, les équations des deux courbes proposées. L’équation P + XQ=0 sera

(3) (a + Xa') a- ’+ (b + W) xy + (c + Xc') y' ' + .... = 0.

Pour abréger, nous la représenterons par

Ax*-f B*ry + Cy’-J- Dx + Ey-f F = 0.

En la résolvant par rapport à y, on a

y=~^T±2C |/^B’-'lAC)x«+2(BE-2CD)a:+(E1-4CF).

LIV. III, CHAP. IX.— COURBES Dr SECOND DEGRÉ. 247 Pour que cette équation représente deux droites, réelles ou imaginaires, il est nécessaire que le polynôme placé sous le radical soit un carré parfait, ce qui exige que la condition

(BE — 2CD)’ — (B* — 4 AC) (E1— 4CF)=0 soit remplie. Cette relation, après la suppression du facteur AC, s’écrit

(4) AE*+CD’— BDE+ (B* — 4 AC) F=0 ; si l’on remplace les lettres A, B,. .. par leurs valeurs a-f Xa', b +X6',..,. on arrive à une équation du troisième degré en X. Il suffira de calculer l’une des racines de cette équation avec une certaine approximation , pour avoir un couple de sécantes communes ; cherchant ensuite les points d’intersection de chacune de ces droites et de l’une des courbes proposées, à l’aide d’une équation du second degré, on obtiendra les coordonnées des quatre points d’intersection.

On pourrait aussi calculer deux racines de l’équation (4), afin d’avoir deux couples de droites, dont on chercherait ensuite les points d’intersection.

Une racine réelle donnera un couple de droites réelles, si elle rend positive la quantité B* — 4 AC. Il y a plusieurs cas à considérer : 4° Si l’équation du troisième degré en X a ses trois racines réelles , et si pour deux de ces racines la quantité B* — 4AC est positive , ces deux racines donneront deux couples d’équations du premier degré à coefficients réels, d’où l’on déduira quatre solutions réelles ; les deux courbes du second degré se coupent en quatre points réels et admettent en effet trois couples de sécantes réelles communes. La troisième racine rendra aussi positive la quantité B* — 4AC, 2" Si l’équation du troisième degré n’a qu’une racine réelle, ou si, l'équation ayant ses trois racines réelles, une seule rend positive la quantité B*— 4AC, les deux courbes du second degré admettent un seul couple de sécantes réelles communes; dans ce cas, elles se coupent en deux points réels ou ne se rencontrent pas ; les deux équations proposées auront, on deux solutions réelles et deux imaginaires, ou quatre solutions imaginaires.