LIV. ni, CHAP. IX.— COURBES DU SECOND DEGRÉ

petite que i/4. Il résulte de là qu’une seule des deux sécantes rencontre la courbe, et par suite que le cercle et l’hyperbole proposés se coupent en deux points réels et en deux points imaginaires et conjugués.

2H7 — La résolution des deux équations *,+y’— 2x=o, xy — 4 = 0,

est ramenée à celle de l’équation du troisième degré X’ — 4X — 4 =0,

qui a ses trois racines réelles, une positive et deux négatives. La première seule rend positive la quantité

B'— 4AC=X* — 4 = i

et donne deux droites réelles

Ces valeurs de y, substituées dans la seconde des équations proposées, conduisent aux deux équations du second degré

V * WJ)

La condition de réalité des racines est l/X*<±2. 11 est évident que cette condition n’est pas remplie si l’on prend le signe inférieur. Elle ne l’est pas non plus si l’on prend le signe

supérieur; car, dans ce cas, la condition se réduit à X < v 4,

et si l’on substitue celte valeur ^4 dans l’équation en X, on a

un résulat négatif 3 — W\, ce qui prouve que la valeur po-

sitive de X est plus grande que i/4. Des deux sécantes communes réelles, aucune ne rencontre les courbes. Ainsi les deux courbes proposées se coupent en quatre points imaginaires.

U88 — Lorsque deux hyperboles ont une asymptote parallèle, l’un des points d’intersection s’éloigne à l’infini, et l’é-

250 GÉOMÉTRIE ANALUTlUÉE.

quation résultant de l’élimination de l’une des coordonnées entre les deux équations se réduit au troisième degré. Soient, par exemple, les deux hyperboles

xy— y'— x=0,

qui ont chacune une asymptote parallèle à la droite y—x ; si, dans la seconde, on substitue la valeur de x, tirée de la première. on obtient l’équation du troisième degré

qui a une racine réelle et deux imaginaires. Les deux hyperboles ne se coupent qu’en un point réel ; elles admettent deux sécantes communes réelles; l’une, passant par ce point et le point situé à l'infini, est parallèle à la droite y=x\ l’autre passe par les deux points imaginaires conjugués.

289 — Supposons que, dans les deux équations, les coefficients des termes du second degré soient proportionnels, et rien n’empêche alors de les supposer égaux; si l’on retranche ces deux équations

a.r’ + bxy + cy' -{-dx+'ey + f = 0, ai'-f bxy -f- cyt-\-d'x-{- e'y-f f = 0 , membre à membre, on obtient l’équation du premier degré {d—d')x+(e—e')y-\-f—f =0, et l’élimination de y conduit à une équation du second degré en x. Les deux courbes ne se cou|>ent plus qu’en deux points réels ou imaginaires conjugués ; les deux autres points se sont éloignés à l’infini. L’une des sécantes communes réelles passe* par les deux points d’intersection ; l’autre, du même couple, s’est éloignée à l’infini. Celte circonstance se présente lorsque les courbes sont des hyperboles ayant leurs asymptotes respectivement parallèles; et, en général, comme nous le venons plus tard, lorsque les deux courbes sont semblables et semblablement placées.

290 — Dans certains cas, la recherche des points d’intersec-