LIV. III, CHAP. IX. -COURBES DlT SECOND DEGRÉ

lion de deux courbes du second degré se ramène à une équation du second degré ou à une équation bicarrée.

1° Lorsqu’un même diamètre divise en deux parties égales les cordes parallèles dans les deux courbes, si, par une transformation de coordonnées, on rapporte les courbes à ce diamètre commun pris pour axe des x et à une parallèle aux cordes pour axe des y, les deux équations ne contiendront plus l’inconnue y qu’a la seconde poissance ; l’élimination de y’ donnera un équation du second degré en x.

2° Si ces deux courbes sont des hyperboles ayant une asymptote commune, en les rapportant à cette asymptote prise pour axe des a: et à une droite quelconque pour axe des y, on a des équations dans lesquelles le terme en xy contient seul la lettre x: en éliminant ce terme, on obtient une équation du second degré en y.

3° Lorsque les deux courbes ont même centre, si on les rapporte à ce centre commun pris pour origine des coordonnées, les deux équations ne contenant plus de termes du premier degré, l’élimination de y donnera une équation bicarrée en x.

291— Les considérations précédentes sur les points et les droites imaginaires sont très-utiles, parce quelles permettent d’établir des analogies entre des propriétés qui, sans cela, ne pourraient être rattachées les unes aux autres. En voici un exemple assez remarquable : un cercle coupe en quatre points réels ou imaginaires une courbe du second degré; soit (x — «)’ + (y— p)* — R‘=0 l’équation du cercle, A=0 et B=0 celles d’une couple de sécantes communes réelles, l’équation de la courbe du second degré pourra toujours être mise sous la forme

(x— a)« + (y — p)*— R*=XAB.

Le premier membre représente le carré de la longueur de la tangente menée d'un point quelconque de la courbe au cercle; il en résulte ce théorème : un cercle étant placé d'une manière quelconque dans le plan d'une courbe du second degré, la

tangente menée de tout point de la courbe au cercle est à la moyenne prop >rtionnelle entre les distances de ce point à deux sécantes com nunes réelles dans un rapport constant.

Supposons ri e le cercle soit tangent à la courbe en deux points réels c u inaginaires conjugués , la droite des contacts sera réelle, et l'équation de la courbe prendra la forme (*—*)*+ (y — P)* — R*=XA*.

Ainsi, lorsque un cercle est doublement langent à une courbe du second degré, la tangente menée d’un point quelconque de la courbe au cercle est à la distance de ce point à la corde des contacts dans un rapport constant.

Le foyer d’une courbe du second degré peut être considéré comme un cercle d’un rayon nul ayant avec la courbe un double contact imaginaire; la directrice est la corde des contacts.

EXERCICES

1° Construire une courbe du second degré, connaissant la directrice et trois points.

2« Construire une parabole, connaissant le foyer et deux points ou deux tangentes, ou un point et une tangente.

3° Construire une parabole, connaissant la directrice et deux points.

A® Construire une hyperbole, connaissant trois points et la direction des asymptotes.

5° Construire une hyperbole, connaissant une asymptote, un sommet et un point.

6° Construire une parabole passant par quatre points donnés.

7® Construire une parabole tangente à quatre droites données.

8° Trouver le lieu du sommet d’une parabole ayant un foyer donné et tangente aune droite donnée.

9" Trouver le lieu du foyer d’une parabole ayant son sommet en un point donné et tangente à une droite donnée.