L1V.IV,CHAP. I.— COURBES EN COORDONNÉES RECTIL

(A) DrX=— (5) r»,y— —

(il1— 8< + 3 V—tÿ ‘ U'— 5f + 2 f»(l — 1)* '

Les numérateurs ne s’annulant pour aucune valeur réelle de t ne changent jamais de signe. Les valeurs de x et de y

deviennent milles pour /=-, infinies pour <=0, ou / = t.

Si l’on fait varier t de — *à O, x est négatif et décroît de O à — », y est positif et croît de O à l’infini; on obtient ainsi la branche infinie OA (fig. 168).

La variable t allant de 0 à—, x et y deviennent positifs et décroissent de » à 0, ce qui donne la branche infinie OB.

La variable I allant de à 1 , x et y sont négatifs et décroissent deOà— », on a la branche infinie OC. Le coefficient

angulaire de la tangente en O à la branche BOC est -.

Enfin, si t varie de t à « , x et y deviennent positifs et décroissent de » à 0, on obtient la branche infinie OD.

Lorsque l’équation entre x et y ne renferme que deux groupes de termes, l’un du degré m, l’autre du degré m — t, si l’on prend, comme nous venons de le faire, pour variable

auxiliaire le rapport » les coordonnées x et y sont des

fonctions rationnelles de cette variable. Lorsque l’équation contient trois groupes de termes , le premier du degré m, le second du degré m—t , le troisième du degré m — 2, en conservant la même variable auxiliaire, les coordonnées s’ob-

lettre D, initiale du mot dérivée ; et on indique la variable par rapport à laquelle on prend la dérivée en écrivant cetle variable comme un indice audessous de la lettre ü et un peu it droite. Ainsi D x et D,y indiquent lés dérivées des fonctions x et y par rapport à la variable (, Dry la dérivée de y par rapport A x.

tiennent par la résolution d’une équation du second degré, et on peut encore suivre leurs variations simultanées.

304— Exemple II. Construction de la courbe (1) x'y* — xy — x — 2—0.

Si l’on pose x y = t ,

on obtient

On peut considérer la courbe comme étant définie par les équations

Examinons comment varient a; et y, lorsqu’on fait varier

la variable auxiliaire 1 de — oo à + <»• Pour cela prenons les dérivées des deux fonctions, on a

3J‘ + 8ts + t

Fig. IM.

La valeur de D,x s’annule pour deux valeurs a et 6 de t comprises, la première entre

— - et — 2, la seconde entre — t et 0. La valeur de D,y s’an-

nule pour trois valeurs c, d, e de t, comprises, la première

entre — -et — 2,1a seconde entre —i et 0 et la troisième entre <

Oetl.On reconnaît facilement, en outre, que l’on a a<c, d<6. Cela posé, considérons la suite des quantités

— ao, a, c, — 2, — t, d, 6, e, 4-t, oo, rangées par ordre de grandeur. Si l’on fait varier t de — xka, x est négatif, part de 0 et décroît ; y est positif, part de l’infini