LIV. IV, CHAP. 111.— ASYMPTOTES

y=cx-\-d

avec la courbe , les abscisses des points sont les racines de l’équation du degré m — 2,

x-i + Blx»-’ + ....=0.

Une courbe de l’ordre ni n’est jamais coupée par une de ses asymptotes en plus de m — 2 points.

330 — Exemple I. — Soit la courbe y'+x>=l,

déjà étudiée au n° 322.

On a stujrzu’ + t, l’équation ? (u)=Ü a une seule

racine réelle — I. Les termes du degré m — 1 manquant, on a d= 0, et comme cette valeur de d n’annule pas le polynôme (6), il en résulte que la droite y= — x est asymptote, ainsi que nous l’avons reconnu d’une autre manière.

33fl — Exemple IL— Soit la courbe

ÿ* — y*x +xs — 2x’y=0,

construite au n° 303. On a dans ce cas ? (u)=u‘ — u’mH’fu — 1). L’équation ?(«)= 0 a une racine triple égale à zéro et une racine simple égale à 1. Considérons la racine simple, la valeur correspondante de d est t ; cette valeur n’annule pas le polynôme (6) ; donc la droite

ij=x+ I

est asymptote dé la courbe.

La racine triple ne pourrait donner que des asymptotes parallèlesàOX; mais il est évident d’après l’équation de la courbe qu’aucune des valeurs de y ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment; cette racine doit être rejetée.

333 — Nousavonsrcmarquéqu’uneasymptoled’une courbe algébrique du degrém coupe la courbe au plusen m — 2 points. Les courbes transcendantes peuvent couper leurs asymptotes en une infinité de points.

br. 19

Par exemple, la courbe

3$inx

oscille indéfiniment de part et d’autre de la droite OX à laquelle elle est asmyptote, puisque la valeur de y a pour limite zéro (fig. 180). Les oscillations ont d’ailleurs une, amplitude constante et égale à w.

La courbe

sinx'

oscille aussi indéfiniment de part et d’autre de son asymptote OX; mais ici l'amplitude des oscillations va en diminuant (fig. 181).

Fig. 181.

333 — Il arrive quelquefois que deux branches infinies n’ont pas d’asymptote rectiligne et que cependant la différence de leurs ordonnées tend vers zéro; dans ce cas on dit que les deux courbes sont asymptotes l’une de l’autre, et si l’une d’elles est une courbe simple bien connue, on pourra s’en servir pour tracer l’autre. Reprenons l’équation

et supposons que le degré du numérateur surpasse de plus

LIY.rV, CHAP. rv.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 201