CHAPITRE IV

Conslractlon de* Courbe» en Coordonnée* polaire*.

334— Nous avons défini les coordonnées polaires au n» 3; dans ce système un point quelconque, pris isolément dans le plan, peut être déterminé par une valeur de « comprise entre 0 et 2w, et par une valeur positive de p; cependant on est conduit, ainsi que nous allons l’expliquer par divers exemples, à faire varier chacune des coordonnées «a et p de — oc à + oo.

1° Hyperbole. Nous avons vu que, l’un des foyers de l’hyperbole étant pris pour pôle, les deux branches sont représentées par deux équations distinctes, quand on se borne aux rayons vecteurs positifs; mais que l’une des équations suffit , si l’on admet les rayons vecteurs négatifs, en convenant de porter la

valeur absolue de chacun d'eux dans la direction opposée de celle qu’indique la valeur de <o.

2» Limaçon de Pascal. Nous avons démontré (n° 35) que la courbe est représentée par les deux équations p = acos t» ±b,

quand on fait varier w de — à + et que l’on admet les

valeurs négatives de p ; mais il est facile de voir que la première équation suffit pour représenter toule la courbe. Considérons, en effet, un point M' de la seconde branche dont les coordonnées p' et uJ vérifient l’équation p ' = acoW — b; si dans la première équation on remplace w par &>' + w, on a p= — acost»' + b= — p', ce qui monlre qu’en portant la valeur de pdans le sens convenable, on obtient le point M'. Ainsi la première équation, dans laquelle on fait varier w deO à 2ir, représente toule la courbe.

3° Spirale d’Archimède. Un point M se meut d’un mouvement uniforme et dans le sens G'G sur une droite indéfinie G'OG, laquelle tourne elle-même d’un mouvement uniforme autour de l’un de ses points O, la courbe décrite par le point M est la spirale d’Archimède.

Prenons pour axe polaire la position OX, occupée par la droite OG lorsque le mobile M passe en O , et comptons les angles polaires positivement dans le sens du mouvement de G'OG ; soit a la longueur dont le mobile s’avance sur la droite, pendant que celle-ci fait une révolution entière. Si l’on considère le mobile dans l’une quelconque de ses positions après son passage en O, en appelant w l'angle dont a tourné la direction OG à partir de OX, et p la distance du mobile du point O, on a

ou p=a — — =

en posant — =&•

Considérons le mobile avant son passage en O, appelons w, la valeur absolue de l’angle dont il faut faire tourner la direction OG plpur que le mobile vienne en O, le point M

LIV. IVjCHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 293 ôtant placé sur la direction OG', opposée à celle qui correspond à l'angle oi„ le rayon vecteur de ce point est négatif et l’on a

— P__ Mi a 2*

Si l’on convient également de regarder les angles polaires, comptés dans un sens opposé au premier, comme négatifs, on aura u> = — <o„ et la relation précédente coïncide avec l’équation (I) qui représente la courbe indéfinie. Les valeurs de w comprises entre 0 et 2n, 2n et 4ir..., 0 et— 2*..., donnent les spires successives. Si l’on se bornait aux valeurs positives de p et aux valeurs de w comprises entre 0 et 2tc, il faudrait une équation particulière pour représenter chacune des spires.

p— p=a+6w,.... p=a — bu>, p=2a — bo>,....

La spirale d’Archimède se compose de deux parties

OB.C.D.A.B,.... et OB.E.D,

r, B, .... (fig. 183) symétriques l’une de l'autre par rapport à la perpendiculaire OY à l’axe polaire. Chaque partie comprend une infinité de spires, et T les portions d’une droite quelconque menée par le pôle et comprises entre deux spires consécutives ont toutes pour longueur a.

335 — Remarque I. — Un même point M du plan peut être défini par une infinité de couples de valeurs de p et de «o, Si l’on appelle a l’angle positif moindre que 2ic que fait la direction OM avec l’axe OX et a la , distance OM (fig. 184), on peut prendre pour rig. 1*4. coordonnées du poiut M, les couples de valeurs,

....[— 4 ir+a,a], [— 2ir+a,a]. [a, a], [2ir + a ,d\, [4it-fa, al,... dans lesquels le rayon vecteur est |>ositif, ou les couples.

[ — 3ic-f-a, — a],[ — a1,[*+a, — a],[3it+a, — a],[5it+o, — a] dans lesquels le rayon vecteur est négatif.

Lorsque le point M appartient à une courbe définie par une équation

ses coordonnées, quoique bien déterminées, ne peuvent être indiquées à la seule inspection du point; il faut, pour les obtenir, suivre le tracé de la courbe.

336— Remarque IL — Dans les formules de transformation établies au livre I, chapitre in, nous avons supposé le point M déterminé par un rayon vecteur positif et par un angle polaire compris entre 0 et 2ic. Conservant d'abord le rayon vecteur positif, on peut prendre pour angle polaire l’un quelconque des angles que forme la direction OM avec OX (fig. 185), angle compté positivement en tournant de OX versOY, et négativement dans le sens opposé ; ceci revient à augmenter ou à diminuer l’angle désigné primitivement paru d’un multiple de 2 ic ; le sinus et le cosinus ne changeant pas, les formules restent les mêmes. Supposons maintenant le point M défini par un rayon vecteur négatif , l’angle « sera 1 un des angles formés par la direction OM’ avec OX. La projection de OM sur OX est ( — p) x cos ( it + w ) ou pcosw; ainsi on a encore x=?co$oi, etdemêmejr=pstnu. Les formules sont générales.

Lorsque l’axe polaire OX7 ne coïncide pas avec OX, on définit

îtion de OX' en donnant l’angle de OX' avec OX, angle

a ^ . ' tournant de OX vers OY, soit a cet angle. Si l’on

compte en

FiB. 185.

considère l’axe ,

nolaire auxiliaire OX, on aura les formules

t COS 01,

y — psin co.

On a de plus urru7 + « ; d’où

x = p cos [o/ + a), y =p sin ( oJ -j- a).

Supposons’les axes dés coordonnées obliques, et prenons OX