LIV.IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 29r

pour axe polaire, on obtient les formules de transformation en projetant les deux chemins OM etOPM successivement sur une perpendiculaire à OX et sur une perpendiculaire à OY ; on trouve ainsi psi«(9 — (o)

sin 9

Fig. rn. f situa '

y~ sine

0 étant l’angle YOX.

3 37— Remarque III.— Dans le cas où l'on obtient toute la courbe en faisant varier w de 0 à 2ir, on reconnaît la symétrie par rapport à l’axe polaire OX, quand les valeurs a et 2it — a attribuées à u> reproduisent la même valeur de p, ou quand les valeurs a et * — a donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. On reconnaît de meme la symétrie par rapport à la perpendiculaire OY, quand les angles a et w — a donnent la même valeur de p, ou les angles a et 2 n — a des valeurs égales et de signes contraires. Enfin , on reconnaît la symétrie par rapport au pôle, quand les angles a et * -f- a donnent la même valeur de p.

Mais lorsque, pour avoir toute la courbe, il est nécessaire de faire varier w au delà de 2ir, la symétrie peut se présenter d’une autre manière. Par exemple, s’il est nécessaire de faire varier w de 0 à An, la symétrie par rapport à laxe polaire aura lieu si les angles a et 2n — a, ou a et An— a, donnent des valeurs égales pour p, ou si les angles a et n — a, ou a et 3n — a, donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. Si les limites de « sont plus étendues, le nombre des comparaisons à faire augmente.

Considérons, par exemple, la courbe définie par l’équation

p = cos — •

Quand w augmente de deux fois 2n, la direction du rayon

redevient la même; d’ailleurs, augmentant de % n, p reprend

2tM GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

la même valeur; ainsi on retrouve un point déjà obtenu antérieurement. Il suffit donc de faire varier u> de 0 à 4*. Si l’on augmente « de 2 ir, le rayon revient à la même direction ;

mais — augmentant seulement de n, p conserve la même valeur numérique en changeant de signe. On en conclut que la portion du lieu donnée par les valeurs de tu comprises entre 2 ir et Air est symétrique par rapport au pôle de la partie donnée par les valeurs de <« comprises entre 0 et 2 it ; en d’autre» termes, le pôle est centre de la courbe. Pour u>—a etti)=2ir — «, les valeurs de p sont égales et de signes contraires ; on a de la sorte deux points placés symétriquement par rapport à la perpendiculaire OY à l’axe polaire (flg. 187) ; cette droite OY est un axe de la courbe. La variable tu allant de 0 à ir, p diminue

de 1 à 0, on a l’arc ABO tangent au point O à la droite OX'. Les valeurs de <u comprises entre ir et 2* donnent l’arc OBA' symétrique du premier par rapport à OY, et les valeurs de « comprises entre 2* et An, la courbe A'B'OB'A symétrique de ABOBA' par rapport au pôle. La courbe est formée de quatre arcs égaux. L’axe polaire est aussi un axe de la courbe, ce qu’on voit directement en remarquant que l’on a des valeurs égales de p pour les valeurs a et A n — a attribuées à u.